gdzie – zbiór indeksów zbiorów może być skończony, przeliczalny (np. zbiór liczb naturalnych ) lub nawet nieprzeliczalny.
Definicje wnętrza, domknięcia, brzegu. Własności Niech dana będzie przestrzeń topologiczna Definicja. Wnętrzem Oznaczenia pochodzą od angielskich słów interior („wnętrze”), closure („domknięcie”) oraz border, frontier („granica”, tu: „brzeg”) bądź ich francuskich odpowiedników. zbioru nazywa się sumę (nawet nieprzeliczalną) wszystkich zbiorów otwartych zawartych , tzn.
Uwaga: Gdyby topologia była ograniczona do sum skończonych zbiorów otwartych, to wnętrze każdego zbioru byłoby w pełni określone przez sumy skończone zbiorów otwartych.
Twierdzenie. Ponieważ suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to z definicji wynika, że stanowi największy zbiór otwarty zawarty w .
Definicja. Domknięciem zbioru nazywa się część wspólną wszystkich zbiorów domkniętych zawierających zbiór , tzn.
Twierdzenie. Domknięcie zbioru jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbiór .
Dowód: Własność powyższa wynika z definicji domknięcia oraz z własności, że iloczyn zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, cnd.
Definicja. Brzegiem (oznaczanym też ) zbioru nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru, tj.
Twierdzenie.