Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych: drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa, zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.
Definicja odległości punktu od zbioru
Odległością (odstępem) punktu od zbioru nazywa się funkcję
Równoważność metryk Definicja Niech będą przestrzeniami metrycznymi.
Df. 1 Metryki nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczneKołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2012, s. 33..
Df. 2 Metryki nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe takie że dla każdego spełniony jest warunek
Twierdzenia o metrykach równoważnych Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru jest zbieżny w sensie metryki to jest także zbieżny w sensie metryki
Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.
Tw.