Uwagi do definicji Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.
Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru
Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru
prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnejNależy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy’ego na zbiorze drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze .
Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.
Ciągłość jednostronna Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla mianowicie aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną.