Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.
Przykłady Rozpatrujemy funkcje Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ). Funkcja dana wzorem
jest ciągła. Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem: Funkcja Dirichleta jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny). Funkcja jest ciągła wyłącznie w punkcie Funkcja jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny. Funkcja Thomae jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.
Własności Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, to na dziedzinie: jest jednostajnie ciągła, przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa o kresach), ma własność Darboux (zob.