twierdzenie Darboux).
Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych Definicje W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.
Dla przestrzeni metrycznych oraz funkcja jest ciągła w punkcie jeśli prawdziwe jest zdanie
Powyższą implikację można zapisać również w postaci albo
gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w oraz oznaczają środek i promień kuli (analogicznie jest dla kuli ).
Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji w sensie Heinego jest:
Przykłady Dwuargumentowe działania algebraiczne zdefiniowane dla Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką zbiór par liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką gdzie oznacza moduł liczby zespolonej. Jednoargumentowe działanie algebraiczne zdefiniowane dla Jednoargumentowe działanie zdefiniowane dla Metryka naturalna na sferze zdefiniowana formalnie jako czyli jako kąt między niezerowymi wektorami
Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych Definicja thumb|300px|Ciągłość funkcji w punkcie dla otoczenia punktu możemy znaleźć otoczenie punktu takie, że jest zawarte w