Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.
Niech oraz będą przestrzeniami topologicznymi.
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli dla każdego otoczenia punktu istnieje otoczenie punktu takie, że jego obraz zawiera się w (patrz rysunek obok).
Jeśli przestrzenie są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.
Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz
Aby sprawdzić ciągłość funkcji nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni. Można zbadać dla pewnej bazy tej przestrzeni: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty, tj. należy do topologii Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków: przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w jest domknięty w dla każdego zbioru spełniony jest warunekgdzie oznacza domknięcie zbioru dla każdego zbioru spełniony jest warunek