Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli jest funkcją ciągłą oraz ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz zwartość, ośrodkowość, spójność.
Jeśli zbiór jest gęsty w a są ciągłe oraz dla każdego to
Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń jest oznaczana symbolem Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.
Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni
Na przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie: zbieżności punktowej zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie zbieżności jednostajnej w której bazą otoczeń punktu jest gdzie
Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowych Niech oraz będą porządkami zupełnymi.
Funkcja jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn.