Iloczyn nieskończony przedziałów otwartych może być przedziałem domkniętym:
Baza i podbaza topologii Rodzina wszystkich zbiorów otwartych tworzy topologię przestrzeni; w tej rodzinie wyróżnia się podrodziny: baza przestrzeni topologicznej – podrodzina topologii, z której za pomocą sumowania mnogościowego elementów bazy można otrzymać dowolny zbiór otwarty, podbaza przestrzeni topologicznej – podrodzina bazy, z której za pomocą skończnego mnożenia mnogościowego elementów podbazy można otrzymać dowolny zbiór z bazy.
Topologia w przestrzeniach metrycznych
Tw. (topologia w przestrzeni metrycznej) W przestrzeni metrycznych topologię czyli rodzinę zbiorów otwartych tworzą zbiory, które z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie.
Tj. jeżeli i dla każdego punktu istnieje kula otwarta o środku w punkcie , to też jest otwarty.
Dowód twierdzenia wymaga sprawdzenia, czy tak zdefiniowane zbiory otwarte spełniają aksjomaty topologii.
Tw.