Dalsze badania matematyków wykazały, że piąty pewnik Euklidesa nie zależy od pierwszych czterech i, zastępując go zaprzeczeniem, można otrzymywać inną geometrię. Ponieważ pewnik ten równoważny jest stwierdzeniu: Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną, analizowano konsekwencje jego modyfikacji. Okazało się, że spójne geometrie można uzyskać w dwóch przypadkach: przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić nieskończenie wiele prostych rozłącznych z daną lub nie da się poprowadzić żadnej prostej rozłącznej (to ostatnie zdanie wymaga modyfikacji 2. aksjomatu). Pierwszą drogą poszli Carl Gauss, János Bolyai i Nikołaj Łobaczewski, otrzymując tak zwaną geometrię hiperboliczną, drugą poszedł w połowie XIX stulecia Bernhard Riemann, twórca geometrii eliptycznej. Ostateczną akceptację geometrii nieeuklidesowych zapewniły modele geometrii Bolyai-Łobaczewskiego zaproponowane w XIX wieku przez Eugenio Beltramiego oraz Feliksa Kleina.
Z pierwszej księgi Elementów pochodzą również dobrze znane wszystkim określenia: punkt jest tym, co nie ma części; linia to długość bez szerokości; powierzchnia to coś, co ma tylko długość i szerokość