principle of dependent choices, albo DC) Jeśli jest taką relacją na niepustym zbiorze że dla dowolnego istnieje spełniający to istnieje ciąg dla którego dla Twierdzenie o ideale pierwszymTen aksjomat wystarczy, aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, czy twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa. (BPI, od ang. Boolean prime ideal theorem) Na każdej algebrze Boole’a istnieje ultrafiltr.
Prawdziwe są następujące ciągi implikacji: AC ⇒ PDC ⇒ CAC AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n Cn ⇒ Cm ⇒ PP AC ⇒ BPI ⇒ OP AC ⇒ ACWO ⇒ ACF
Przykłady zastosowań aksjomatu Aksjomat wyboru (często w postaci lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często potrzebna jest jedynie jego słabsza wersja, na przykład: analiza matematyczna – równoważność definicji ciągłości funkcji według Cauchy’ego i HeinegoDo udowodnienia wystarcza przeliczalny aksjomat wyboru CAC. teoria pierścieni – twierdzenie Krulla: każdy pierścień z jedynką ma ideał maksymalny (każdy ideał zawarty jest w pewnym ideale maksymalnym) algebra liniowa – twierdzenie Hamela: każda przestrzeń liniowa ma bazę (Hamela) algebra uniwersalna – twierdzenie Steiniza: każde ciało ma domknięcie algebraiczneDo udowodnienia wystarcza jedna ze słabszych wersji aksjomatu