Wtedy oznaczamy: jest klasą abstrakcji elementu w relacji
i analogicznie:
i
są klasami abstracji elementu odpowiednio w relacjach i
Przykłady W dowolnej grupie mamy
W nieskończonej półgrupie cyklicznej mamy
Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy W pełnej półgrupie transformacji zbioru oznaczanej symbolem mamy Używana jest standardowa w teorii półgrup notacja, w której argumenty funkcji zapisywane są po lewej stronie symbolu funkcji. gdzie oznacza jądro dla dowolnego
Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni oznaczanej symbolem
Częściowe porządki na zbiorach klas Dla dowolnej półgrupy istnieją naturalne porządki na i zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:
oraz
Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.
Jeżeli lub spełniają następujący warunek: każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,
to mówimy, że spełnia odpowiednio lub Jeżeli półgrupa spełnia zarówno jak i to zachodzi równość
Własności Zawierania Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:
W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi jednak nie jest to prawdą w ogólności.
Lemat i twierdzenie Greena Następujący fakt został pokazany przez A.J.