harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb lub są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że oraz
Przykłady harmonik sferycznych Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie harmonik odpowiadających danej wartości + Kilka pierwszych harmonik sferycznych l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 m = -3 m = −2 m = −1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
Wykresy harmonik Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych oraz Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rys. 1.
Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji o różnych wartościach parametrów Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.
Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej W równaniu Schrödingera Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać
gdzie – masa elektronu, – operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie elektronu w atomie.