przestrzeń topologiczną.
O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w liczbach rzeczywistych, których dziedzina jest podzbiorem skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Definicje ekstremów dla dowolnych funkcji Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni: minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe, maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe, właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od czyli nie ma wartości równych dla formalnie: dla każdego właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od