thumb|Ekstrema lokalne funkcji zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)
Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji.
Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartymCzasem uogólnia się to na dowolne niepuste zbiory otwarte; Zbiór musi być otwarty, żeby wykluczyć patologiczny przypadek, gdy wybierzemy punkt na brzegu tego zbioru. Wówczas np. funkcja mogłaby mieć minimum i maksimum właściwe w każdym swoim punkcie. otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych). Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe. Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi. Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.
Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne wysokości nad poziomem morza występuje na szczycie Mount Everestu, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkachEkstremum może nie być właściwe, nawet jeśli funkcja nie posiada odcinka stałego. Wystarczy, że w okolicach rozważanego ekstremum występuje nieskończona liczba ekstremów o tej samej wartości funkcji, tak że w każdym otoczeniu jest przynajmniej jedno. Zobacz sekcja #Proste przykłady ekstremów.), nie będzie to maksimum lokalne właściwe.
Istnieją funkcje nieposiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja
Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w technice i statystyce. Wiele zagadnień optymalizacyjnych sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia.
Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie zarówno w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny.
Funkcje, dla których można rozważać ekstrema thumb|Funkcja jako przyporządkowanie W matematyce wartością funkcji nie musi być koniecznie liczba – funkcją jest dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru zwanego dziedziną po jednym elemencie zbioru zwanego przeciwdziedziną. Funkcją jest więc również przyporządkowanie każdemu łysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru włosów jego ulubionej peruki.
Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w przeciwdziedzinie funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś porządek. Zbiór uporządkowany, i to liniowo, tworzą np. liczby rzeczywiste. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego.
W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia „lokalności”. Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu „bliskie”. Formalizując to podejście, określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną bazę otoczeń punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. przedział otwarty, zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne naturalne warunki tworzy tzw. przestrzeń topologiczną.
O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w liczbach rzeczywistych, których dziedzina jest podzbiorem skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Definicje ekstremów dla dowolnych funkcji Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni: minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe, maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe, właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od czyli nie ma wartości równych dla formalnie: dla każdego właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od formalnie: dla każdego
Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanymDla ekstremów globalnych nie jest potrzebna definicja systemu otoczeń. ma w punkcie swojej dziedziny: minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości większe od właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości mniejsze od
Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.
Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.
Ekstrema funkcji jednej zmiennej Przykłady ekstremów
cd. Przykłady: Właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny thumb|Fragment wykresu funkcji mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty – odpowiadają nieskracalnym ułamkom . Niech funkcja przyporządkowuje każdej liczbie wymiernej wartość mianownika wyrażającego ją ułamka skróconego. Formalnie:
gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik.
Dla dowolnego wymiernego istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek różniący się od o mniej niż ma mianownik większy od q. Nierówność
prowadzi bowiem do
a wobec jest . A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.
Tw. Weierstrassa (warunek wystarczający ekstremum globalnego) Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych, określona na przedziale domkniętym, osiąga ekstrema globalne. Twierdzenie to jest prawdziwe nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych.
Ekstrema funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje ciągłe oraz różniczkowalne w przedziale Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest „nieprzerwany” i „gładki”, czyli ma w każdym punkcie styczną. Nie zakładamy tu, dla ogólności rozważań, ciągłości funkcji pochodnej. Poniżej rozważymy warunki na istnienie ekstremów dla funkcji spełniających rosnące wymagania, tj. o ciągłych pochodnych pierwszego, drugiego i n-tego rzędu. W następnym rozdziale rozważymy zaś funkcje, które nie mają pochodnych w punktach, w których pomimo tego mają ekstrema.
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata) thumb|Funkcja nie ma dla ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. W punkcie tym występuje punkt przegięcia. Tw. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji różniczkowalnej w pewnym punkcie jest
Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. twierdzenie Fermata.
Dowód:
Jeśli ma w punkcie ekstremum lokalne, to istnieje takie że dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej zachodzi:
a więc:
Po przejściu do granicy, dla otrzymujemy:
Zatem c.n.d.
Warunek Fermata nie jest jednak wystarczający.
Np. funkcja nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna zeruje się dla
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy jednej zmienne rzeczywistej (tj. funkcja jest ciągła i ma ciągłą pochodną w przedziale ) oraz ma skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji której wykres pokazano w sekcji Proste przykłady ekstremów., to w punkcie funkcja ma ekstremum, gdy w otoczeniu tego punktu pochodna zmienia znak, przy czym: minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że:
dla dla
maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że
dla dla
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy (tj. jest ciągła i ma ciągłe pierwszą i drugą pochodną w przedziale ) oraz spełnione są warunki
to ma w punkcie ekstremum, przy czym: gdy to jest to maksimum lokalne gdy to minimum lokalneDowód: Ze wzoru Taylora dla wynika:
gdzie:
więc z:
wynika:
Dla prawa strona ma ten sam znak, co Gdy to z ciągłości wynika w pewnym otoczeniu punktu więc w tym otoczeniu dla
zatem istnieje maksimum w punkcie Analogicznie, istnieje minimum gdy .
2. Gdy zaś druga pochodna zmienia znak przechodząc przez punkt .
Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy , tj. jest -krotnie razy różniczkowalna i ma ciągłe pochodne aż do -tej w oraz spełnione są warunki: tj. wszystkie pochodne do -ej zerują się w punkcie , tj. n-ta pochodna jest różna od zera w tym punkcie, to gdy jest liczbą parzystą, to ma ekstremum w punkcie przy czym jest to maksimum, gdy lub minimum, gdy gdy jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.
Dowód
Z założenia zerowania się pochodnych do można wyprowadzić korzystając ze wzoru Taylora:
dla pewnego
Jeśli jest parzyste, rozumowanie przebiega jak poprzednio. Gdy jest nieparzyste, prawa strona równości zmienia znak, gdy zmienia znak, a funkcja zachowuje w pewnym otoczeniu punktu ten sam znak co Czyli ma dla inny znak niż dla więc nie istnieje ekstremum w punkcie
Przykłady: Zagadnienia optymalizacyjne - funkcja jednej zmiennej thumb|Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości Zagadnienie wyznaczania ekstremów funkcji występuje często w fizyce i technice. Oto przykład:
Przykład 1: Pudełko o największej objętości Problem: Z kwadratowego arkusza blachy o boku wycinane są przy wierzchołkach przystające kwadraty i po zagięciu brzegów tworzone jest prostopadłościenne pudełko. Jak otrzymać pudełko o największej objętości? Rozwiązanie 1: Jeśli przez oznaczyć długość boku wyciętego kwadratu, to objętość pudełka będzie równa przy czym Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji w przedziale przy czym wartości krańcowe reprezentują pudełko odpowiednio bez ścianek oraz bez podstawki, a więc o zerowej (minimalnej) objętości. Pochodna zeruje się na tym przedziale w punktach oraz (w tym przypadku objętość jest zerowa). Ponieważ funkcja objętości jest dodatnia wewnątrz przedziału, 0 na jego końcach i ma we wnętrzu nie więcej niż jedno ekstremum lokalne, to ma ona dokładnie jedno maksimum, które jest zarazem lokalne i globalne (twierdzenie Rolle’a); osiągane jest ono w Dlatego największa objętość pudełka wynosi Rozwiązanie 2