Dla dowolnego zbioru następujące warunki są równoważne:
jest przedziałem, dla wszystkich zachodzi , dla wszystkich oraz dowolnego zachodzi .
W powyższym przez przedział rozumiemy również przedział pusty oraz cały zbiór .
Zakładając, że jest przedziałem, warunek 2. mówi, że odcinek zawarty między dowolnymi dwoma punktami przedziału również jest przedziałem. Intuicja za warunkiem 3. bierze się z zauważenia, że przedział jest tym samym, co (potencjalnie nieskończona) suma odcinków w przestrzeni wektorowej nad . Formalny dowód podano niżej.
Dowód warunku 3. Załóżmy, że jest przedziałem domkniętym w przestrzeni liczb rzeczywistych. Niech oraz . Z definicji przedziału wynikają nierówności:
Ponieważ oraz , możemy pomnożyć powyższe nierówności stronami przez te współczynniki bez zmiany kierunku znaków nierówności:
Dodając obie nierówności stronami, otrzymujemy:
Wyciągamy oraz przed nawias odpowiednio po lewej i prawej stronie nierówności:
co upraszcza się do postaci: