Współrzędne uogólnione — część 6

Oznacza to, że energia kinetyczna układu, którego położenie jest zadane przez współrzędne kartezjańskie, zależy jedynie od prędkości cząstek, nie zależy zaś ani od współrzędnych, ani od czasu,

Współrzędne uogólnione zależne od czasu Jeżeli jednak wektory wodzące cząstek wyrazi się przez współrzędne uogólnione, zależne w ogólności od czasu,

to pochodne czasowe przyjmą postać

i wtedy otrzyma się

co oznacza, że energia kinetyczna będzie zależeć od współrzędnych uogólnionych prędkości uogólnionych i czasu – jeżeli więzy będą zależeć od czasu, czyli

Współrzędne uogólnione niezależne od czasu Jeżeli jednak więzy będą stałe w czasie, to wszystkie pochodne cząstkowe po czasie będą zerować się – wtedy energia kinetyczna będzie funkcją współrzędnych uogólnionych, funkcją jednorodną kwadratową prędkości uogólnionych niezależną jawnie od czasu, gdyż

Powyższe wyrażenie jest równoważne kwadratowi elementu liniowego trajektorii -tej cząstki

gdyż dzieląc powyższe wyrażenie przez otrzyma się kwadrat prędkość -tej cząstki Dla więzów niezależnych od czasu wystarczy więc znać element liniowy trajektorii cząstki, aby obliczyć jej energię kinetyczną.