Niech ma -tą współrzędną równą a pozostałe równe Elementy te nie tworzą bazy gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje w generują a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę skąd ma przeliczalny wymiar nad Jeżeli byłby wolny, to niech oznacza -bazę modułu wówczas czyli Ponieważ ma przeliczalny wymiar nad to zbiór wskaźników (dla ) również musi być przeliczalny, a więc ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów co daje przeliczalność Z drugiej jednak strony funkcja dana wzorem jest iniektywna, a więc jest nieprzeliczalny, gdyż jest nieprzeliczalny. Stąd nie jest wolny, a co za tym idzie również..
Bazy dualne Niech wtedy też (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy w sprawia, że każda forma liniowa jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy odwzorowując w element – jest to zanurzenie które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element ): jeśli są rzutami względem bazy na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy oznacza to, że jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę