Jeśli jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne jest izomorfizmemNiech będzie bazą a będzie stowarzyszoną z nią bazą Każdy niezerowy element ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem dla pewnego Stąd co oznacza, że jest niezerowym elementem Tym samym jedynym dla którego jest zerem w jest element skąd wynika, że dane odwzorowanie jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element jest pewnym niech należy wskazać dla którego tj. dla dowolnego Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na to wystarczy wyznaczyć które spełnia to równanie dla przebiegającego bazę dualną która rozpina Niech oraz Wówczas czyli co oznacza, że dane przekształcenie jest suriektywne., które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą dualną do bazy dualnej modułu dualnego jest baza istotnie:
Moduły dla których istnieje izomorfizm (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.
Przekształcenia dualne Niech będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami.