Jeżeli to punkty i są różne. Dowód. Gdyby to na podstawie aksjomatu 4. byłoby jednocześnie i nie czyli sprzeczność. Jeżeli na mocy aksjomatu 4. czyli jednocześnie i nie czyli jednocześnie i nie co jest sprzeczne. Zatem Ponieważ z aksjomatu 3. więc wszystkie punkty są różne.
Z aksjomatu 5. wynika twierdzenie: Jeżeli i są różnymi punktami na prostej to proste i są identyczne.
Pociąga ona za sobą ważne własności prostych: Dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej prostej. Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Jeśli punkty i leżą na jednej prostej, to spełniona jest jedna z relacji lub
Z aksjomatu 6. wynika, że: Jeśli i nie leżą na jednej prostej, to proste i są różne. Dla dowolnych dwóch punktów i istnieje taki punkt że Dowód. Z aksjomatu 6. wynika, że istnieje punkt nienależący do prostej (zielona prosta na rysunku). Z aksjomatu 2. wynika, że istnieje taki punkt że oraz taki punkt że Na podstawie aksjomatu 7. istnieje na prostej taki punkt że Problem Sylvestera: Jeżeli danych jest n punktów i nie wszystkie są współliniowe, to istnieje co najmniej jedna prosta zawierająca dokładnie dwa spośród nichCoxeter, op. cit., s.