Dla wszystkich zachodzi:
prawa De Morgana:
podwójne przeczenie:
Uporządkowanie W zbiorze wprowadza się porządek boole’owski wtedy i tylko wtedy, gdy
Tak zdefiniowana relacja jest częściowym porządkiem na zbiorze Zbiór z relacją ≤ jest kratą rozdzielną.
Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy Niepusty zbiór jest ideałem w algebrze , jeśli są spełnione następujące dwa warunki: oraz
Każdy ideał zawiera element Ideał, który nie zawiera elementu nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe
Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór jest filtrem w algebrze jeśli:
oraz
Każdy filtr zawiera element Filtr, który nie zawiera elementu nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe
Niech będzie właściwym ideałem w algebrze Niech będzie relacją dwuczłonową na taką, że wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas jest relacją równoważności na W zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania
Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że jest algebrą Boole’a.