Skończona algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona elementów (dla ). Algebra mocy jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z elementami i jako taka ma wolnych generatorów.
Nieskończona przeliczalna algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym:
Zupełne algebry Boole’a Działania nieskończone Ponieważ w algebrze Boole’a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).
Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole’a są oznaczane przez (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru (gdy istnieje) jest oznaczany przez a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są to kresy oznaczane są przez
Dla zbioru pustego: oraz
Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana: oraz
Ponadto jeśli to: wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
Zupełność Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a każdy podzbiór ma kres górny; każdy podzbiór ma kres dolny.