Zbiory niemierzalne W teorii zbiorów zakładającej aksjomat wyboru dowodzi się, że istnieją podzbiory prostej niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Giuseppe Vitali w 1905 roku dał przykład takiego zbioru (zbiór Vitalego). Innym zbiorem niemierzalnym jest zbiór BernsteinaFelix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338..
Prawdziwe jest też ogólniejsze twierdzenie: każdy mierzalny podzbiór przestrzeni euklidesowej miary dodatniej zawiera podzbiór niemierzalny. Istnienie i natura zbiorów niemierzalnych są częstym przedmiotem badań w opisowej teorii mnogości. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekście:
Twierdzenie (Sierpiński, 1920) Istnieją takie podzbiory i zbioru liczb rzeczywistych, że niemierzalny jest zbiór .
Twierdzenie (Cichoń-Morayne-Rałowski-Ryll-Nardzewski-Żeberski, 2001) Istnieje taki podzbiór zbioru Cantora zawartego w przedziale że niemierzalny jest zbiór .
Stefan Banach rozważał problem możliwości