Uwzględniając, że jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę:
Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako:
zaś samą funkcję przedstawić wyrażeniem:
gdzie zaś
Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż powoduje, że co pozwala skorzystać z zależności a zatem:
stosując ponownie nierówność trójkąta:
więc:
Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego funkcja a także, iż oraz zależność :
Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością do przestrzeni oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu
Niech będzie funkcją mierzalną z przestrzeni wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:
gdzie zaś Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów i prowadzi do wniosku, że funkcje i muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest ponadto:
więc co pozwala mi na skorzystanie z zależności a zatem:
Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem . Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością oraz Ponadto:
wobec czego dzięki czemu można użyć zależności , więc: