W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.
Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji w punkcie warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego szereg Taylora funkcji był zbieżny do jest, aby ciąg reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.
Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej spełniającej powyższe założenia, można znaleźć, licząc kilka pierwszych wartości:
przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:
Geneza i wyprowadzenie wzoru Celem jest znalezienie dla dowolnej funkcji co najmniej razy różniczkowalnej, niebędącej skończonym wielomianem, odpowiadającego jej wielomianu stopnia który jest równy funkcji tzn. dziedziny obu funkcji są takie same i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji dla tego argumentu są również takie same: