Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.
gdzie oznaczają liczby Bernoulliego.
gdzie oznaczają liczby Eulera.
Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne
Funkcja W Lamberta
Uogólnione twierdzenie Taylora Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.
Niech szereg potęgowy będzie zbieżny dla i niech oznacza sumę tego szeregu na przedziale Jeżeli to funkcję można rozwinąć w punkcie w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla przy czym
Przykłady obliczania Przykład 1 Znaleźć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji
będącą wielomianem stopnia 6.
Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa
podstawiamy odpowiednio i upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:
Przykład 2 Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji
Korzystamy ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina funkcji wykładniczej i cosinusa
Planujemy postać szeregu Maclaurina:
Mnożymy powyższe wyrażenie przez
Po uporządkowaniu współczynników przy odpowiednich potęgach otrzymamy:
Porównujemy współczynniki powyższego rozwinięcia i rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji wykładniczej
Otrzymamy
Dostaniemy ostatecznie: