W mistrzostwach USA grał tylko kilka razy, w 1953 przegrał w pierwszym meczu z reprezentantem gospodarzy Artem Larsenem, w 1956 doszedł do II rundy. W 1957 osiągnął III rundę w wimbledońskim turnieju pocieszenia (Wimbledon Plate), przegrał z Gordonem Forbesem.
W grze podwójnej był ćwierćfinalistą Wimbledonu w 1958 w parze z Contrerasem; Meksykanie ulegli wówczas Włochom Siroli i Pietrangelemu. W 1960 również z Contrerasem doszedł do III rundy Wimbledonu, po wyeliminowaniu rozstawionych z numerem trzecim Hiszpanów Arilli i Gimeno. Z kolei w 1957 w turnieju gry mieszanej na Wimbledonie, mając za partnerkę Belgijkę Christiane Mercelis, doszedł Llamas do IV rundy, eliminując m.in. brytyjsko-polski duet Bea Walter i Czesław Spychała.
Inne turnieje W latach 50. i 60. Llamas miał okazję krzyżować rakiety z wieloma znakomitościami ówczesnego tenisa amatorskiego i odnotował wygrane nad szeregiem z nich, żeby wymienić Luisa Ayalę, Malcolma Andersona, Herberta Flama, Torbena Ulricha, Barry'ego MacKaya, Ulfa Schmidta, Mervyna Rose'a, Jana-Erika Lundqvista, Orlando Sirolę, Gardnara Mulloya, Jaroslava Drobnego, Rafaela Osunę. W narodowych mistrzostwach Meksyku w 1957 pokonał w półfinale Tomy'ego Palafoxa, a w finale Pancho Contrerasa. W 1958 doszedł do finału międzynarodowych mistrzostw Czechosłowacji, eliminując m.in.