a więc na mocy (oryginalnego) kryterium Raabego rozważany szereg jest rozbieżny. Przykład ten pokazuje, że wersja graniczna kryterium Raabego jest słabsza od oryginalnej.
Dowód Idea dowodu kryterium Raabego polega na porównywaniu danego szeregu z szeregiem harmonicznym
który jest zbieżny dla oraz rozbieżny dla .
Niech dla szeregu zachodzi dla pewnego i dostatecznie dużych Stąd także
Niech będzie dowolną liczbą spełniającą Z uwagi na to, że
dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
tj.
Oznacza to, że
czyli
Po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego a więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest zbieżny.
W przypadku, gdy od pewnego wyrazu zachodzi nierówność to zachodzi także nierówność
więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest rozbieżny, gdyż po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów rozbieżnego szeregu harmonicznego
Dowód w oparciu o kryterium Kummera
Z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika, że ciąg spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas
gdzie jest takie jak w wypowiedzi kryterium Kummera. Wynika stąd bezpośrednio kryterium Raabego.