Dualnie, funktor zachowuje produkty. zachowuje obiekty początkowe, a zachowuje obiekty końcowe. zachowuje koekwalizatory, a zachowuje ekwalizatory. Ogólniej, zachowuje kogranice (końce) diagramów, a zachowuje granice (początki) diagramów.
Twierdzenie Freyda o istnieniu funktora sprzężonego W przypadku kategorii zupełnych powyższe własności funktora są niemal warunkami dostatecznymi na istnienie lewego sprzężonego do
Twierdzenie FreydaM. Zawadowski, Elementy teorii kategorii, twierdzenie 6.9.. Załóżmy, że jest kategorią zupełną i lokalnie małą. Na to, by funktor miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, by zachowywał granice diagramów oraz spełniał tzw. warunek zbioru rozwiązującegoWarunek ten można sformułować następująco: dla dowolnego obiektu istnieje zbiór o następującej własności: dla każdego i każdego morfizmu w istnieją: obiekt morfizm w i morfizm w takie, że .
Warunek ten, dość skomplikowany, jest spełniony przez większość typowych kategorii. Wystarczy np. by kategoria miała separator, tzn. obiekt taki, że każdej pary morfizmów istniał morfizm taki, że (takim obiektem jest np. ciało skalarów w oraz przedział [0,1] w ).
Dalsze przykłady funktorów sprzężonych Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach.