Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności
to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości oraz otrzyma się
co implikuje
czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)
Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni bazę ortonormalną, taka że macierz operatora wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.
Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.
Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).
1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona) Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać