Квадратът ( – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.
Определение Квадратът е правилен многоъгълник с четири страни и ъгли, но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като: четириъгълник, успоредник или трапец с равни страни и равни/прави ъгли; правоъгълник с равни страни; ромб с перпендикулярни страни.
Свойства
За квадрата са валидни следните твърдения: Четирите му страни са равни. Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са прави (по 90°). Има четири оси на симетрия – двата диагонала и двете симетрали на страните. Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите. Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни. Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата. Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност. Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат. Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и , където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.
За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.
Формули {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center" |- ! bgcolor="#c0c0ff" colspan="3" align="center"|Формули за квадрат |- |Дължина на страната
|Дължина на диагонала
|Периметър
|Лице
|Радиус на описаната окръжност
|Радиус на вписаната окръжност
Построение Тъй като 4 е степен на 2, квадрат може да бъде построен с линийка и пергел:Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
Квадратът в неевклидовата геометрия Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен куб.Евклидовата равнина може да бъде покрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°. (Вижте Квадратно пано)Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°. (Вижте Петоредово квадратно пано)
В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.
В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.
В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.
Кръстосан квадрат
Кръстосаният квадрат е диагонално сечение на квадрата, самопресичащ се многоъгълник, създаден чрез премахване на два срещуположни ръба на квадрат и повторно свързване чрез двата му диагонала. Той има половината от симетрията на квадрата, Dih2, ред 4. Има същото разположение на върховете като квадрата и е транзитивен по върховете. Изглежда като два равнобедрени правоъгълни триъгълника с общ връх на правите ъгъл, но геометричното пресичане не се счита за връх.
Кръстосаният квадрат понякога се оприличава на папийонка или пеперуда. Кръстосаният правоъгълник се получава чрез сечение на правоъгълника и двата специални случая на кръстосани четириъгълници.
Вътрешността на пресечен квадрат може да има многоъгълна плътност ±1 във всеки триъгълник, в зависимост от ориентацията на навиването по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.
Квадратът и кръстосаният квадрат имат следните общи свойства:
Противоположните страни са равни по дължина. Двата диагонала са еднакви по дължина. Има две линии на отражателна симетрия и ротационна симетрия от порядък 2 (през 180°).
Съществува в конфигурацията на върха на еднакви звездни многостени, тетрахемихексахедър.
Вижте също Четириъгълник Успоредник Правоъгълник Ромб Трапец
Източници
Категория:Четириъгълници