Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (višeznačnica). Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.
desno|mini|250px|Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.
U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)
Oznaka a < b znači da je a manje od b. Oznaka a > b znači da je a veće od b. Oznaka a ≠ b znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini. U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".
Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti
Oznaka a ≤ b znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b); Oznaka a ≥ b znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);
Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.
Oznaka a b znači da je a mnogo manje od b. Oznaka a b znači da je a mnogo veće od b.
Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".
Osobine
Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).
Trihotomija
Osobina trihotomije kaže da je:
Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno: a < b a = b a > b
Tranzitivnost
Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:
Za sve realne brojeve, a, b, c: Ako je a > b i b > c; tada je a > c Ako je a < b i b < c; tada je a < c Ako je a > b i b = c; tada je a > c Ako je a < b i b = c; tada je a < c
Sabiranje i oduzimanje
Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:
Za sve realne brojeve, a, b, c: Ako je a < b, tada je a + c < b + c i a − c < b − c Ako je a > b, tada je a + c > b + c i a − c > b − c
Množenje i dijeljenje
Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:
Za sve realne brojeve, a, b, c: Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc
Inverz sabiranja
Osobine za inverz sabiranja kažu da je:
Za sve realne brojeve a i b Ako je a < b, tada je −a > −b Ako je a > b, tada je −a < −b
Inverz množenja
Osobine za inverz množenja kažu da je:
Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b
Nejednakosti između srednjih vrijednosti
Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, imamo da je H ≤ G ≤ A ≤ Q, gdje je
{| style="height:200px" |- | || (harmonijska sredina), |- | || (geometrijska sredina), |- | || (aritmetička sredina), |- | || (kvadratna sredina).
Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine
i geometrijske sredine
za i uređene n-torke pozitivnih brojeva i .
Teorem (AG nejednakost) Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi . Jednakost se postiže ako i samo ako je .
Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja). Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi
Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine
Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je
Dokaz
Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve , ... dobijamo
Jednakost vrijedi ako i samo ako je
Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je
Dokaz
znamo
za
Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do
Jednakost vrijedi ako i samo ako je
Nejednakosti stepena
Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.
Primjeri
Ako je x > 0, tada je
Ako je x > 0, tada je
Ako je x, y, z > 0, tada je
Za bilo koja dva različita broj a i b,
Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je
Ako je x, y, z > 0, tada je
Ako je a, b > 0, tada je
Ako je a, b > 0, tada je
Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an, tada je
(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).
Dobro poznate nejednakosti
Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive: Azumaova nejednakost Bernoulliova nejednakost Booleova nejednakost Cauchy–Schwarzova nejednakost Chebysheva nejednakost Chernoffova nejednakost Cramér-Raova nejednakost Hoeffdingova nejednakost Hölderova nejednakost Nejednakost aritmetičkih i geometrijskih sredina Jensenova nejednakost Kolgomorova nejednakost Markova nejednakost Minkowskijeva nejednakost Nesbittova nejednakost Pedoeova nejednakost Nejednakost trougla
Također pogledajte
Binarna relacija Zagrada za upotrebu znakova < i > kao zagrada Fourier-Motzkinova eliminacija Nejednačina Interval (matematika) Djelimično uređen skup Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost
Reference
Vanjski linkovi
interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com Solving Nejednakosti WebGraphing.com – kalkulator za crtanje grafika nejednakosti. Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project. http://e.math.hr/agnejednakost/index.html NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA
Kategorija:Elementarna algebra