En matemàtiques, física matemàtica i física teòrica, el tensor d'espín és una quantitat que s'utilitza per descriure el moviment de rotació de les partícules en l'espai-temps. El tensor d'espín té aplicació en la relativitat general i la relativitat especial, així com en la mecànica quàntica, la mecànica quàntica relativista i la teoria quàntica de camps.
El grup euclidià especial SE(d) d'isometries directes es genera mitjançant translacions i rotacions. La seva àlgebra de Lie s'escriu .
Aquest article utilitza coordenades cartesianes i notació d'índex tensorial.
Antecedents sobre els corrents de Noether El corrent de Noether per a les translacions a l'espai és la quantitat de moviment, mentre que el corrent per als increments de temps és l'energia. Aquestes dues afirmacions es combinen en una de sola en l'espai-temps: les translacions en l'espai-temps, és a dir, un desplaçament entre dos esdeveniments, es genera pel tetramoment P. La conservació del tetramoment ve donada per l'equació de continuïtat:
on és el tensor tensió-energia, i ∂ són derivades parcials que formen el tetragradient (en coordenades no cartesianes, això s'ha de substituir per la derivada covariant). Integració sobre l'espai:
dóna el vector de quatre moments en el temps t.
El corrent de Noether per a una rotació al voltant del punt y ve donat per un tensor de tercer ordre, denotat per . A causa de les relacions de l'àlgebra de Lie
on el subíndex 0 indica l'origen (a diferència del moment, el moment angular depèn de l'origen), la integral:
dóna el tensor del moment angular en el temps t.
Definició El tensor d'espín es defineix en un punt x com el valor del corrent de Noether en x d'una rotació al voltant de x,
L'equació de continuïtat
implica:
i, per tant, el tensor tensió-energia no és un tensor simètric.
La quantitat S és la densitat del moment angular de l'espín (l'espín en aquest cas no és només per a una partícula puntual, sinó també per a un cos estès), i M és la densitat del moment angular orbital. El moment angular total és sempre la suma de les contribucions de l'espín i dels orbitals.
La relació:
dóna la densitat de parell que mostra la taxa de conversió entre el moment angular orbital i l'espín.
Exemples Exemples de materials amb una densitat d'espín diferent de zero són els fluids moleculars, el camp electromagnètic i els fluids turbulents. En el cas dels fluids moleculars, les molècules individuals poden estar girant. El camp electromagnètic pot tenir llum polaritzada circularment. Per a fluids turbulents, podem fer arbitràriament una distinció entre fenòmens de longitud d'ona llarga i fenòmens de longitud d'ona curta. Una vorticitat de longitud d'ona llarga es pot convertir mitjançant turbulència en vòrtexs cada cop més petits que transporten el moment angular a longituds d'ona cada cop més petites alhora que redueixen la vorticitat. Això es pot aproximar mitjançant la viscositat de remolí.
Referències
Categoria:Relativitat general Categoria:Relativitat especial Categoria:Mecànica quàntica