Condicions d'integrabilitat per a sistemes diferencials: en matemàtiques, certs sistemes d'equacions diferencials parcials es formulen de manera útil, des del punt de vista de la seva estructura geomètrica i algebraica subjacent, en termes d'un sistema de formes diferencials. La idea és aprofitar la manera com una forma diferencial es restringeix a una subvarietat, i el fet que aquesta restricció és compatible amb la derivada exterior. Aquest és un possible enfocament per a certs sistemes sobredeterminats, per exemple, incloent-hi parells Lax de sistemes integrables.

Formulació matemàtica Un sistema pfaffià s'especifica només mitjançant formes 1, però la teoria inclou altres tipus d'exemples de sistemes diferencials. Per elaborar, un sistema pfaffià és un conjunt de formes 1 en una varietat llisa (que s'iguala a 0 per trobar solucions al sistema).

Donada una col·lecció de formes diferencials 1 en un -dimensional M, una varietat integral és una subvarietat immersa (no necessàriament encaixada) l'espai tangent de la qual en cada punt és aniquilat per (la retrocessió de) cadascun αi. Una varietat integral maximal és una subvarietat immersa (no necessàriament incrustada) de manera que el nucli del mapa de restriccions sobre formes està cobert per la a cada punt d'N. Si a més a més el són linealment independents, aleshores és ()-dimensional. Si a més a més el són linealment independents, aleshores és ()-dimensional.

Es diu que un sistema pfaffià és completament integrable si admet una foliació per varietats integrals maximals. (Tingueu en compte que la foliació no ha de ser regular; és a dir, les fulles de la foliació poden no ser subvarietats incrustades.)

Una condició d'integrabilitat és una condició sobre la per garantir que hi haurà subvarietats integrals de dimensió prou alta.

Intuïció miniatura|L'estructura de contacte estàndard , definit per la forma 1 . A causa de la torsió, és completament no integrable enlloc. Un sistema pfaffià s'especifica mitjançant 1-formes. A cada punt , el conjunt de 1-formes es pot visualitzar com un conjunt d'hiperplans, o elements de contacte, centrats en el punt. Els hiperplans s'intersequen, produint un subespai lineal de l'espai tangent local . Aquest camp de subespais lineals sembla localment peces infinitesimals d'una varietat integral maximal, però podria ser impossible ajuntar aquestes peces infinitesimals en una varietat integral maximal. Les peces es podrien enroscar l'una contra l'altra, trencant qualsevol intent d'unir-les.

Per exemple, si té 3 dimensions, aleshores una sola forma 1 produeix un camp de plans, mentre que dues formes 1 que són linealment independents en cada punt produeixen un camp de línies. Integrar un camp de línies sempre és possible, però integrar un camp de plans pot ser impossible a causa de la "torsió". Localment, aquest camp de plans no integrable s'assembla a l'estructura de contacte estàndard en , definit per la forma 1 .

Condicions necessàries i suficients Les condicions necessàries i suficients per a la integrabilitat completa d'un sistema pfaffià vénen donades pel teorema de Frobenius. Una versió afirma que si l'ideal generat algebraicament per la col·lecció d' α i dins de l'anell Ω(M) és diferencialment tancat, en altres paraules

aleshores el sistema admet una foliació per varietats integrals maximals. (El contrari és evident a partir de les definicions.)

Exemples Sistemes regulars integrables Donada qualsevol foliació regular, podem simplement prendre els seus diferencials per obtenir un sistema regular integrable. El rang del sistema és la codimensió de la foliació.

La fibració de Hopf és una foliació de la 3-esfera en cercles, que és una foliació regular de codimensió 2.

Sistemes singulars integrables De manera similar als sistemes regulars integrables, una foliació singular produeix un sistema singular integrable. Per exemple, es pot foliar en cercles concèntrics amb un punt singular a l'origen. Això correspon a un sistema singular integrable

Sistemes completament no integrables No tots els sistemes pfaffians són completament integrables en el sentit de Frobenius. Per exemple, considerem la següent forma unidimensional :

Si dθ estigués en l'ideal generat per θ, tindríem, per l'asimetria del producte de falca

Però un càlcul directe dóna

que és un múltiple diferent de zero de la forma de volum estàndard en R3. Per tant, no hi ha fulles bidimensionals i el sistema no és completament integrable.

D'altra banda, per a la corba definida per

aleshores θ definit com s'ha esmentat anteriorment és 0, i per tant es verifica fàcilment que la corba és una solució (és a dir, una corba integral) per al sistema de Pfaffi anterior per a qualsevol constant c diferent de zero.

En general, una forma 1 en una varietat de dimensió és completament no integrable si i només si a tot arreu. Per un teorema de Pfaff, generalitzat pel teorema de Darboux, existeixen coordenades locals en què és de la forma . Aquestes estructures són estructures de contacte.

Anàlogament, en una varietat de dimensió parell, una forma 1 en una varietat de dimensió és completament no integrable si i només si a tot arreu. Aquestes estructures són estructures de contacte uniforme.

La 3-esfera es pot donar una estructura de contacte considerant-la com l'esfera unitària en . El formulari de contacte estàndard a és: on són coordenades sobre .

Sistema parcialment integrable Alguns sistemes pfaffians no tenen una foliació integrable màxima, però tampoc són completament no integrables.

Per exemple, l'estructura de contacte estàndard de , definit per la forma 1 , és completament no integrable, en el sentit que qualsevol varietat integral d'aquesta només pot tenir 1 dimensió (aquestes s'anomenen subvarietats legendrianes). Tanmateix, si ens estenguéssim a , aleshores pot tenir una varietat integral de 3 dimensions. Aquesta no és la dimensió més baixa assolible, per la qual cosa no és ni completament integrable ni completament no integrable, cosa que la fa parcialment integrable.

En , una 1-forma completament integrable tindria varietats integrals de 4 dimensions, i l'estructura de contacte estàndard només pot tenir varietats integrals de 2 dimensions, cosa que la fa completament no integrable.

Aplicacions En geometria pseudoriemanniana, podem considerar el problema de trobar un comarc ortogonal θi , és a dir, una col·lecció de 1-formes que formin una base de l'espai cotangent en cada punt amb que són tancades ( dθ i = 0, ). Pel lema de Poincaré, la θi localment tindrà la forma dx i per a algunes funcions x i a la varietat, i per tant proporcionarà una isometria d'un subconjunt obert de M amb un subconjunt obert de R n. Una varietat d'aquest tipus s'anomena localment plana.

Aquest problema es redueix a una pregunta sobre el fibrat de coframes de M. Suposem que tinguéssim un coframe tancat d'aquest tipus

Si tinguéssim un altre coframe , aleshores els dos coframes estarien relacionats per una transformació ortogonal

Si la forma 1 de la connexió és ω, aleshores tenim

D'altra banda,

Però és la forma de Maurer-Cartan per al grup ortogonal. Per tant, obeeix l' ⁠estructural , i aquesta és només la curvatura de M : Després d'una aplicació del teorema de Frobenius, s'arriba a la conclusió que una varietat M és localment plana si i només si la seva curvatura s'anul·la.

Generalitzacions Existeixen moltes generalitzacions de les condicions d'integrabilitat en sistemes diferencials que no necessàriament es generen per formes unidimensionals. Els més famosos són el teorema de Cartan-Kähler, que només funciona per a sistemes diferencials analítics reals, i el teorema de prolongació de Cartan-Kuranishi. Vegeu per a més detalls. El teorema de Newlander-Nirenberg dóna condicions d'integrabilitat per a una estructura gairebé complexa.

Referències

Categoria:Equacions en derivades parcials