sobrexectiva non sobrexectiva inxectivasenmarco|150x150px bixectivasenmarco|150x150px só inxectiva non- inxectivasenmarco|150x150px só sobrexectivasenmarco|150x150px xeral En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función :

A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección.Notacionalmente:

A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección.. Notacionalmente:

A función é bixectiva (un-a-un e onto ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección. . É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos

onde significa " existe exactamente unha ".

En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:

As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

Inxección

miniatura|300x300px| Composición inxectiva: a segunda función non ten por que ser inxectiva. Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións: Unha función é inxectiva se e só se está baleiro ou é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función tal que función de identidade en X. Aquí, é a imaxe de . Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa unha con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa o mapa de inclusión de en . Daquela . Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións. A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se é inxectiva, entón só se pode concluír que é inxectiva (ver figura). Toda inserción é inxectiva.

Sobrexección

miniatura|300x300px| Composición sobrexectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva. Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

Unha función é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función tal que función de identidade en . Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de , tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo . Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de (que é o seu codominio cando é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de . A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se é sobrexectiva, entón só se pode concluír que é sobrexectiva (ver figura).

Bixección

miniatura|300x300px| Composición bixectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva e a segunda función non ten por que ser inxectiva. Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

Unha función é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función tal que función de identidade en X e función de identidade en . Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única. A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección, mais se é unha bixección, entón só se pode concluír que é inxectiva e é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións). As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

Cardinalidade Pódese definir que dous conxuntos "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

Exemplos É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva) A función de identidade idX para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente Para dominios positivos : , e así tamén a súa inversa A función exponencial (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano

Inxectiva e non sobrexectiva A función exponencial

Non inxectiva e si sobrexectiva

Non inxectiva e non sobrexectiva

Propiedades

Para cada función , sexa un subconxunto do dominio e un subconxunto do codominio. Tense sempre e , onde é a imaxe de e é a preimaxe de baixo . Se é inxectiva, entón , e se é surxectiva, entón . Para cada función , pódese definir unha sobrexección e unha inxección . Segue que . Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única tal que e para cada

Teoría de categorías Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.

Historia Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.

Notas

Véxase tamén

Ligazóns externas Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.

Categoría:Funcións