En matemáticas, especificamente en álxebra conmutativa, dise que un ideal propio Q dun anel conmutativo A é primario se sempre que xy é un elemento de Q entón x ou yn tamén é un elemento de Q, para algún n > 0. Por exemplo, no anel de enteiros Z, (p n) é un ideal primario se p é un número primo.
A noción de ideais primarios é importante na teoría de aneis conmutativos porque todo ideal dun anel de Noether ten unha descomposición primaria, é dicir, pódese escribir como unha intersección de infinitos ideais primarios. Este resultado coñécese como teorema de Lasker-Noether. En consecuencia, un ideal irredutíbel dun anel noetheriano é primario.
Existen varios métodos para xeneralizar ideais primarios a aneis non conmutativos, mais o tema é estudado con máis frecuencia para aneis conmutativos. Polo tanto, os aneis deste artigo suponse que son aneis conmutativos con identidade.
Exemplos e propiedades
A definición pode ser rescrita dun xeito máis simétrico: un ideal propio é primario se, cando , temos ou ou (aquí denota o radical de ). Un ideal propio Q de R é primario se e só se cada divisor de cero en R/Q é nilpotente (compare isto co caso de ideais primos, onde P é primo se e só se cada divisor de cero en R/P é de feito cero). Calquera ideal primo é primario, e ademais un ideal é primo se e só se é primario e semiprimo (tamén chamado ideal radical no caso commutativo). Cada ideal primario é primal. Se Q é un ideal primario, entón o radical de Q é necesariamente un ideal primo P, e este ideal é chamado o ideal primo asociado de Q. Nesta situación dise que Q é P-primario. Doutra banda, un ideal cuxo radical é primo non é necesariamente primario: por exemplo, se , , e , entón é primo e , mais temos , , e para todo n > 0, así que non é primario. A descomposición primaria de é ; aquí é -primario e é -primario. Se P é un ideal primo maximal, entón calquera ideal contendo unha potencia de P é P-primario. Non todo ideal P-primario necesita ser unha potencia de P, mais si polo menos conter unha potenciar de P; por exemplo o ideal (x, y2) é P-primario para o ideal P = (x, y) no anel k[x, y], mais non é unha potencia de P, no entanto contén P². Se A é un anel de Noether e P un ideal primo, entón o kernel de , o mapa desde A ata a localización de A en P, é a intersección de todos os P-ideais primarios. Un produto finito non baleiro de ideais -primarios é -primario mais un produto infinito de ideais -primarios pode non ser -primario; xa que por exemplo, nun anel noetheriano local con ideal maximal , (Teorema da intersección de Krull) onde cada é -primario, por exemplo o produto infinito do ideal maximal (e por tanto primo e primario) do anel local produce o ideal cero, o cal neste caso non é primario (porque o devisor de cero non é nilpotente). De feito, nun anel de Noether, un produto non baleiro de ideais -primarios é -primario se e só se existe algún enteiro tal que . Notas
Véxase tamén
Bibliografía
On primal ideals, Ladislas Fuchs
Outros artigos Ideal_(teoría_dos_aneis)#Tipos_de_ideais. Ligazóns externas Primary ideal (Planetmath).
Categoría:Teoría de aneis