miniatura| Un círculo de raio 5 centrado na orixe ten unha área de 25 , aproximadamente 78.54, mais contén 81 puntos enteiros, polo que o erro ao estimar a súa área contando os puntos da retícula é de aproximadamente 2.46. Para un círculo cun raio lixeiramente menor, a área é case a mesma, mais o círculo contén só 69 puntos, producindo un erro maior de aproximadamente 9.54. O problema do círculo de Gauss refírese a limitar este erro de forma máis xeral, en función do raio do círculo.
En matemáticas, o problema do círculo de Gauss é o problema de determinar cantos puntos da retícula de enteiros hai nun círculo centrado na orixe e con raio .
Este número aproxímase coa área do círculo, polo que o verdadeiro problema é limitar con precisión o termo de erro que describa como o número de puntos difire da área. O primeiro avance nunha solución realizouno Carl Friedrich Gauss, de aí o seu nome.
O problema Considere un círculo en con centro na orixe e raio . O problema do círculo de Gauss pregunta cantos puntos hai dentro deste círculo da forma onde e son ambos os dous enteiros. Dado que a ecuación deste círculo está dada en coordenadas cartesianas por , a pregunta é equivalente a preguntar cantos pares de enteiros m e n hai tal que
Se denotamos a resposta para un dado como entón a seguinte lista mostra os primeiros valores de para un enteiro entre 0 e 12 seguido da lista de valores redondeado ao número enteiro máis próximo:
Se eliminamos o centro e dividimos por cuadrantes temos a secuencia
Límites dunha solución e conxectura é aproximadamente , a área dun círculo de raio . Isto débese a que, de media, cada cadrado unidade contén un punto da retícula. Así, o número real de puntos da retícula no círculo é aproximadamente igual á súa área, . Así que hai que esperar que
para algún termo de erro de valor absoluto relativamente pequeno.
Atopar un límite superior correcto para é a forma que tomou o problema. Teña en conta que non ten que ser un número enteiro. Despois de temos
Nestes lugares aumenta en despois do cal diminúe (a unha taxa de ) ata a próxima vez que aumenta.
Gauss conseguiu demostrar que
Hardy e, independentemente, Landau atoparon un límite inferior mostrando que
usando a notación o pequeno.
Suponse que o límite correcto é
Escribindo , os límites actuais son
co límite inferior de Hardy e Landau en 1915, e o límite superior probado por Martin Huxley en 2000.
Formas exactas O valor de pode ser dado por varias series. En termos dunha suma que implica a función chan pódese expresar como:
Esta é unha consecuencia do teorema dos dous cadrados de Jacobi, que se deduce case inmediatamente do produto triplo de Jacobi.
Aparece unha suma moito máis sinxela se a función suma de cadrados defínese como o número de formas de escribir o número como a suma de dous cadrados. Entón
O progreso máis recente baséase na seguinte identidade, que foi descuberta por primeira vez por Hardy:
onde denota a función de Bessel do primeiro tipo con orde 1.
Xeneralizacións Aínda que o problema orixinal pide puntos de retícula enteiros nun círculo, non hai razón para non considerar outras formas, por exemplo as cónicas; de feito, o problema do divisor de Dirichlet é o problema equivalente onde o círculo é substituído pola hipérbola rectangular.
Do mesmo xeito pódese estender a pregunta de dúas dimensións a dimensións máis altas e pedir puntos enteiros dentro dunha esfera ou doutros obxectos.
Existe unha ampla literatura sobre estes problemas. Se ignoramos a xeometría e só consideramos o problema como un problema alxébrico de desigualdades diofantianas, entón poderíase aumentar os expoñentes que aparecen no problema de cadrados a cubos, ou máis.
O problema primitivo do círculo Outra xeneralización é calcular o número de solucións enteiras de coprimos para a desigualdade
Este problema coñécese como problema primitivo do círculo, xa que implica buscar solucións primitivas ao problema orixinal do círculo. Pódese entender intuitivamente como a pregunta de cantas árbores a unha distancia de r son visíbes no pomar de Euclides, situado na orixe.
Se se denota o número desas solucións como entón os valores de para tomando valores enteiros pequenos son
.
Usando as mesmas ideas que o problema habitual do círculo de Gauss e o feito de que a probabilidade de que dous enteiros sexan coprimos é , é relativamente sinxelo demostrar que
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Teorema de Pick Retícula regular Ligazóns externas
Categoría:Problemas non resoltos da Matemática Categoría:Xeometría discreta Categoría:Teoría de números Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas