En análise matemática, o teorema de inversión de Lagrange, tamén coñecido como a fórmula de Lagrange–Bürmann, fornece o desenvolvemento en serie de Taylor da función inversa dunha función analítica. A inversión de Lagrange é un caso particular do teorema da función inversa.
Enunciado Sexa unha función de dada por unha ecuación da forma
onde é analítica nun punto e Entón é posible inverter ou resolver a ecuación para , expresándoa na forma dada por unha serie de potencias
onde
O teorema afirma ademais que esta serie ten un raio de converxencia non nulo,é dicir, representa unha función analítica de nunha veciñanza de Isto tamén se chama reversión de series.
Se se omiten as condicións de analiticidade, a fórmula tamén é válida para series formais e pode xeneralizarse de varias maneiras: pódese formular para funcións de varias variables; esténdese para dar unha fórmula directa para para calquera función analítica ; e pode xeneralizarse ao caso onde o inverso é unha función multivalorada.
O teorema foi probado por Lagrange https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 e xeneralizado por Hans Heinrich Bürmann,Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," 1796. Resumo en:Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration". Manuscrito nos arquivos da École Nationale des Ponts et Chaussées, París (ms. 1715)."Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann," Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2, páxinas 13–17 (1799). a finais do século XVIII.
Existe unha dedución sinxela empregando análise complexa e integración de contorno;E. T. Whittaker e G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 4ª ed. (1927), pp. 129–130 a versión formal complexa é consecuencia da fórmula para polinomios, aplicando a teoría de función analítica. En realidade, a maquinaria da análise complexa intervén de forma só formal nesta proba, pois o que se precisa é unha propiedade do residuo formal, e existe unha proba máis directa e puramente formal. O teorema de inversión de Lagrange ten, de feito, moitas outras probas distintas, incluíndo argumentos de contaxe de árbores ou probas por indución.
Se é unha serie formal, a fórmula anterior non dá directamente os coeficientes da serie inversa en termos dos coeficientes de . Se se expresan e como series formais
con e , entón pode darse unha forma explícita dos coeficientes inversos en termos dos polinomios de Bell:Ecuación (11.43), p. 437, C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall / CRC, 2002
onde
é o factorial ascendente.
Cando , a última fórmula pode interpretarse en termos das caras dos asociaedros
onde para cada cara do asociaedro
Exemplo Por exemplo, a ecuación alxébrica de grao
pódese resolver para mediante a fórmula de inversión de Lagrange para a función , obtendo así unha solución en serie formal
Mediante as probas de converxencia, esta serie é, de feito, converxente para
que é tamén o maior disco no que se pode definir un inverso local de .
Notas
Categoría:Funcións Categoría:Teoremas