En matemáticas, o teorema de Mazur-Ulam establece que toda isometría sobrexectiva entre espazos vectoriais normados reais é afín. Foi probado por Stanisław Mazur e Stanisław Ulam en 1932.
Enunciado e demostración Teorema (Mazur-Ulam, 1932). Sexan e espazos vectoriais normados reais e unha isometría. Se é sobrexectiva, entón é unha aplicación afín.
Demostración. Sexan . Consideremos os puntos medios e e definamos . Veremos que . Para iso, consideraremos as reflexións e respecto de e , dadas por
para calquera e . Como é sobrexectiva, podemos definir que é tamén unha isometría sobrexectiva. Por construción, , , e , de onde se obtén directamente que e .
Agora demóstrase por indución que a identidade é certa para todo enteiro non negativo . En efecto, se é inmediato, pois
Por outra parte, se se verifica para certo valor de , aplicando que é unha isometría involutiva e unha isometría,
Finalmente, aplicando a desigualdade triangular da norma e as propiedades de ,
para todo enteiro non negativo , polo que, necesariamente, . Así, preserva puntos medios e, por indución, todas as combinacións afíns diádicas. Como é continua, preserva todas as combinacións convexas e, en consecuencia, é unha aplicación afín.
A demostración anterior está baseada na versión de O. Hatori (2024).
Teorema de Baker Para espazos normados reais, se o espazo de chegada é estritamente convexo, o resultado tamén é válido para isometrías que non son necesariamente sobrexectivas. A primeira formulación e demostración deste resultado atribúese ao matemático canadense John A. Baker.
Teorema (Baker, 1971). Sexan e espazos vectoriais normados reais e unha isometría. Se é estritamente convexo, entón é unha aplicación afín.
Demostración. Por ser unha isometría, para calquera par de vectores , podemos escribir Dado que W é estritamente convexo, para calquera , tense que é o único elemento de Agora, por ser unha isometría,
de onde, necesariamente, Como e eran arbitrarios, conclúese que é unha aplicación afín.
Este argumento falla no caso xeral, pois nun espazo normado que non é estritamente convexo dúas bólas tanxentes poden atoparse nalgunha rexión convexa non trivial do seu límite en lugar de nun único punto. Xeneralizacións
Espazos de Mazur-Ulam En 2004, Constantin P. Niculescu propuxo unha extensión do teorema de Mazur–Ulam ao ámbito dos espazos métricos. A formulación de Niculescu toma unha dirección distinta doutras xeneralizacións posteriores, pois abstrae directamente a parte convexa ou de punto medio que subxace ás demostracións modernas do teorema de Mazur–Ulam.
Para iso, introduce a noción de espazo de Mazur–Ulam. Trátase dun espazo métrico equipado cunha aplicación que representa o punto medio de dous puntos e que satisfai determinadas propiedades de compatibilidade coa métrica e coas isometrías. En particular, para ,
Ademais, toda isometría sobrexectiva debe verificar a identidade
Baixo estas condicións, o papel que leva a cabo a preservación dos puntos medios no teorema clásico pode trasladarse ao contexto métrico. Esta definición tamén lle permite estender conceptos de convexidade aos espazos de Mazur–Ulam para estudar funcións convexas en espazos métricos que non posúen necesariamente unha estrutura vectorial.
Espazos metricoides En 2012, Osamu Hatori, Kiyotaka Kobayashi, Takeshi Miura e Sin-Ei Takahasi propuxeron unha xeneralización do teorema de Mazur–Ulam mediante a noción de espazo metricoide, que amplía a de espazo métrico e permite aplicar as ideas de Väisälä.
Teorema (Hatori-Kobayashi-Miura-Takahashi, 2012). Toda -isometría bixectiva entre espazos metricoides fortemente reflexivos e é afín.
Como aplicación, o traballo obtén ademais resultados de representación para certas aplicacións sobrexectivas entre espazos de funcións que preservan determinadas subdistancias, nun contexto de metricoides que non se reduce, en xeral, ao dos espazos métricos.
Propiedade de Mazur-Ulam En 2011, Lixin Cheng e Yunbai Dong introduciron a propiedade de Mazur–Ulam para un espazo de Banach . O espazo posúe a devandita propiedade se, para todo espazo de Banach , toda isometría sobrexectiva entre as esferas unitarias admite unha extensión a unha isometría lineal entre e .
O concepto está intimamente relacionado co problema de Tingley, formulado por Daryl Tingley en 1987, que pregunta precisamente pola extensión de isometrías sobrexectivas entre esferas unitarias.
Entre outros resultados, Cueto-Avellaneda e Peralta demostraron a propiedade para certos espazos de funcións e para álxebras de von Neumann conmutativas.
Propiedade de Mazur-Ulam complexa No contexto dos espazos de Banach complexos, as isometrías entre esferas unitarias presentan fenómenos que non aparecen no caso real. En particular, a extensión dunha isometría sobrexectiva entre esferas non ten por que ser complexa-lineal. Hatori introduciu formalmente a noción de propiedade complexa de Mazur–Ulam.
Un espazo de Banach complexo posúe esta propiedade se, para todo espazo de Banach complexo , toda isometría sobrexectiva admite unha extensión a unha isometría sobrexectiva real-lineal entre e .
Esta definición é máis débil que esixir que a extensión sexa complexa-lineal e coincide coa formulación que resulta natural no estudo das isometrías das esferas complexas.
No seu traballo sobre álxebras uniformes, publicado en 2022, Hatori demostrou que toda álxebra uniforme posúe a propiedade de Mazur–Ulam complexa .
Posteriormente, Cabezas, Cueto-Avellaneda, Hirota, Miura e Peralta demostraron que todo -triplo conmutativo satisfai a propiedade de Mazur–Ulam complexa .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Problema de Aleksandrov–Rassias Problema de Tingley Teorema de Banach-Stone Isometría Espazo normado
Bibliografía
Categoría:Teoremas de análise funcional Categoría:Análise funcional