En matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.
Definicións
Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:
Se , entón >
onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.
A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:
Se , entón Se , entón Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte: Se é un vector tal que , entón . Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.
Exemplos
O produto escalar sobre o espazo vectorial satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:
Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:
Aplicacións A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.
Véxase tamén Espazo de produto interno Produto escalar Álxebra Produto externo
Categoría:Matemáticas