A valószínűségszámításban és a statisztikában a Fréchet-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete.http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/FrechetDistribution.html
Ezt az eloszlást Maurice Fréchet-ről nevezték el, aki 1827-ben publikálta, ehhez kapcsolódó további munkásságot Fisher és Tippett végzett 1928-ban és Gumbel 1958-ban.
A kumulatív eloszlásfüggvény:
ahol α>0 az alakparaméter. Úgy is általánosítható, hogy tartalmazza a helyparamétert (m, minimum) és a skálaparamétert (s>0) a kumulatív eloszlás függvényben:
Karakterisztika jobbra|bélyegkép|250px|Fréchet-eloszlás, Valószínűség sűrűség függvény jobbra|bélyegkép|250px|Fréchet-eloszlás, Kumulatív eloszlás függvény A standardizált momentum paraméterel , (ahol ) kizárólag esetre
ahol is the Gamma-függvény. -re a várható érték: -re a szórás: . kvantilis függvényében az eloszlás inverzeként fejezhető ki: .
A medián: .
Az eloszlás módusza:
.
A 3 paraméteres Fréchetre, az első kvartilis:
A harmadik kvartilis:
A kvantilisek a középértékre és a móduszra:
jobbra|bélyegkép|200px |Fréchet eloszlás alkalmazása egynapi maximális csapadékra
Alkalmazások A hidrológiában a Fréchet-eloszlást extrém események becslésére használják, mint például az évente egynapi maximális csapadék, vagy folyók áradása. A kék színű kép egy Fréchet eloszlású alkalmazást mutat be az Ománban esedékes maximális egynapi esőzésre, 90% konfidenciaintervallum mellett, a binomiális eloszlásra alapozva. Az esőzés adatai kumulatív frekvenciáit pontok pozíciói reprezentálják, melyek részei a kumulatívfrekvencia-analízisnek. Azonban a legtöbb hidrológiai alkalmazásban, az eloszlás az általánosított extrémérték-eloszláson keresztül működik, mivel ez elkerüli azt a feltételezést, hogy az eloszlásnak nincs felső határa (mint ahogy az a Fréchet-eloszlásban érvényes lenne az éves maximumra).
Kapcsolódó eloszlások Ha (Állandó eloszlás) akkor Ha akkor Ha és akkor A maximum stabilitási posztulátum egyenlet megoldása a Frechet eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye. Ha (Weibull-eloszlás) akkor
Tulajdonságok A Frechet eloszlás egy maximum stabil posztulátumnak felel meg Egy Frechet eloszlású negatív valószínűségi változó a minimum stabil posztulátumnak felel meg.http://www.jstor.org/pss/1401700
Kapcsolódó szócikkek Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet Valószínűségszámítás Statisztika Matematikai statisztika Normális eloszlás Exponenciális eloszlás Szórás Valószínűségi változó Szórásnégyzet Weibull-eloszlás poli-Weibull-eloszlás Általánosított extrémérték-eloszlás Hatványozott Weibull-eloszlás Extrém érték elmélet
Jegyzetek
Kategória:Valószínűség-eloszlások