A láncszabály egy eljárás összetett függvények deriválására a matematikában.
Ha például f és g is egy-egy függvény, akkor a láncszabály szerint az összetett függvény deriváltja kifejezhető f és g deriváltjaival.
Integráláskor a láncszabály megfelelője a helyettesítéses integrálás.
Történet Írásos jegyzetek alapján úgy tűnik, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz használta először a láncszabályt.
A deriváltját számolta ki, mint a gyökvonás, és a kifejezés deriváltjait. Azonban nem emelte ki, hogy ez egy külön megnevezhető szabály lenne, és ez így is maradt sokáig.
Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, francia matematikus, szintén alkalmazta ezt a szabályt, megemlíti ‘Analyse des infiniment petits’ című publikációjában.
A láncszabályt nem említi Leonhard Euler sem az analíziskönyvében, pedig az már 100 évvel Leibniz felfedezése után készült.
Először Joseph Louis Lagrange említi nevén a láncszabályt, 1797-ben íródott művében, a Théorie des fonctions analytiques-ban.Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez, A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule, The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3, pp.321–332.
Példa Tegyük fel, hogy egy ejtőernyős kiugrik egy repülőből. Tételezzük fel, hogy az ugrás után t idővel a tengerszint feletti magassága méterben: . A légnyomás h magasságban: . A két fenti egyenletet különböző módon lehet differenciálni: t időben az ugró sebessége: h magasságban a nyomás változása: , és ez arányos a felhajtóerővel h magasságban (a valódi felhajtóerő függ az ugró térfogatától). Az ugrás után t időben az atmoszferikus nyomás t idő után, az atmoszferikus nyomás változása: és ez arányos a t idő utáni felhajtóerővel. A láncszabály lehetőséget ad kiszámolni -t, f és g kifejezésekkel. Bár mindig van lehetőség az összetett függvény deriváltjának a kiszámítására, azonban ez általában nehéz feladat. A láncszabály lehetővé teszi, hogy a bonyolult deriváltat egyszerű módon is megkaphassuk. A láncszabály szerint:
Ebben a példában, ez egyenlő:
A láncszabály szerint az f és g kissé különböző szerepet játszik, mert f′-t g(t)-nél számoljuk, míg g′-t a t-nél. Ez szükséges, hogy korrekt eredmény jöjjön ki. Például, tegyük fel, hogy az ugrás után 10 másodperccel szeretnénk kiszámolni az atmoszferikus nyomás változási sebességét. Ez , Pascal/sec-ban. A láncszabályban g′(10) tényező, az ejtőernyős sebessége 10 másodperccel az ugrás után, méter/sec-ben kifejezve. A nyomás változása f′(g(10)) , a g(10) magasságban, Pascal/m-ben. f′(g(10)) és g′(10) szorzata Pascal/sec-ben a helyes érték. f nem számítható ki másképpen. Például azért, mert a 10, tíz másodpercet jelent, az f′(10) pedig a nyomás változását 10 másodperc magasságban, ami nonszensz. Hasonlóan, mivel méter/sec, az f′(g′(10)) mutatja a nyomás változást -98 m/sec magasságban, ami szintén nonszensz. Azonban g(10)= 3020 méter a tengerszint felett, ami az ugró magassága az ugrás után 10 másodperccel. Ez a korrekt egység az f-részére.
A láncszabály állítása
A láncszabály legegyszerűbb formája egy valós változót tartalmazó valós függvény esete. Ekkor, ha g egy függvény, mely differenciálható c pontnál (vagyis a g′(c) létezik), és f egy függvény, mely differenciálható g′(c)-nél, akkor az f ∘ g összetett függvény differenciálható c-nél, és a deriváltja:
a szabályt sokszor így rövidítik:
Ha y = f(u),és u = g(x), akkor ez a szabály rövidített formája Leibniz-féle jelöléssel:
Azok a pontok, ahol a derivált képződik, explicit módon:
Több mint két függvény esete
A láncszabály alkalmazható kettőnél több függvény esetében is. Több függvény deriválása esetén, az f, g, és h összetett függvények esetén, ez megfelel a f g ∘ h-vel. A láncszabály azt mondja, hogy a f ∘ g ∘ h deriváltjának kiszámításához elegendő az f, és a g ∘ h deriváltjainak kiszámítása. Az f deriválása közvetlenül történhet, és a g ∘ h deriválása a láncszabály szerint végezhető el. Egy gyakorlati esetben:
Ez lebontható három részre:
Ezek deriváltjai:
A láncszabály azt mondja, hogy x = a ponton az összetett függvény deriváltja:
Leibniz-féle jelöléssel:
vagy m röviden:
A derivált függvény ezért:
Egy másik útja a számításnak, tekintsük a f ∘ g ∘ h összetett függvényt, mint a f ∘ g és h összetevőit. Most alkalmazva a láncszabályt:
Ez ugyanaz, mint amit fentebb kaptunk. Ez azért van így, mert .
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Integrálás behelyettesítéssel Leibniz-féle jelölés Hányadosszabály Derivált http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html
Jegyzetek
Kategória:Differenciálszámítás