A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel. A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.
Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez-ot, ezen kívül nullát rendel.
A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.
jobbra|bélyegkép|300px|Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1
Formális meghatározás
jobbra|bélyegkép|300px|Dobókocka tömegfüggvénye Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.
Tegyük fel, hogy X: S → A (A R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény fX: A → [0, 1] ahol X:
A valós számokra kiterjesztve a definíció
Jegyezzük meg: fX valós szám, fX(x) = 0 minden x X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → An, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.
Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény fX(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.
Valószínűségeloszlás konstrukciója Adva legyen az függvény, amit jellemeznek a következők: minden esetén. Tehát minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot. normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz .
Ekkor valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója minden esetén egy egyértelmű valószínűségeloszlás, ellátva a eseményalgebrával. Valószínűségeloszlásból származtatva Adva legyen egy valószínűségeloszlás az természetes számokon, ellátva a eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az halmazból! Ekkor az függvény, aminek definíciója
a valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az függvény az
definícióval az valószínűségi tömegfüggvénye.
Példák Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:
Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.
A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye
ahol és az eloszlás paraméterei ( természetes, valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen .
A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye ha egy rögzített paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel . Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen egy ilyen halmaz, és legyen függvény úgy, hogy , ekkor alapján definiálható egy eloszlás: minden valós számra. Ez az eloszlás egyértelmű az eseményalgebrán.Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 196.
Megfordítva, ha valószínűségeloszlás az eseményalgebrán, és egy valószínűségi változó, amely értékeit az halmazból veszi fel, akkor az függvény, amelynek definíciója , a valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy függvény: Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 4. Alternatív definíció Egyes szerzők először definiálják a valós sorozatokat azzal, hogy minden esetén és . Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknakKlenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 13. vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 63.Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 234.
Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy függvény, melynek definíciója minden esetén. Megfordítva, minden n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy fölötti valószínűségi vektor, illetve valószínűségi vektor.
Vannak továbbá szerzők, akik magát a valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.Georgii: Stochastik. 2009, S. 18. További példák Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény minden esetén.
Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az indexhalmazzal, azzal együtt, hogy . Ekkor .
Ezzel sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az ha , sorozatot tekintjük, akkor a normálási konstans. Tehát a valószínűségi tömegfüggvény , ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Valószínűségi változók mérőszámai A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján. Várható érték Ha valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke . Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.
A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az valószínűségi változó -beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye , ekkor a várható érték, ha létezik, akkor . Szórás A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete , ahol a várható érték.
Az eltolási tételt felhasználva
Hasonlóan, ha az értékek -ból valók:
feltéve, ha a szórás létezik. Módusz A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az valószínűségi változó -ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye , akkor módusza .
A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén .
Általában, ha legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az sorozatba úgy, hogy , akkor módusz, hogyha
Tulajdonságok Eloszlásfüggvények Ha valószínűségi tömegfüggvény -en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint
ahol az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb -nél (kisebb, vagy egyenlő vele).
Ha a legfeljebb megszámlálható végtelen halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye . Például lehet , vagy . Valószínűségi változók összege és konvolúciója A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre és , ekkor , ahol a és , az és konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.
Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha független valószínűségi változók rendre az és valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor . Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója. Valószínűséggeneráló függvény -en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció , ahol egy valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.
A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.
Jegyzetek
Irodalom
Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Binomiális eloszlás Sűrűségfüggvény Skálaparaméter Alakparaméter Gamma-eloszlás Gumbel-eloszlás Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Matematikai statisztika
Kategória:Valószínűségszámítás