A matematika, azon belül a számelmélet területén a Karl Zsigmondyról vagy Zsigmondy Károlyról elnevezett Zsigmondy-tétel azt állítja, hogy ha relatív prím egész számok, akkor bármely n ≥ 1 számhoz tartozik olyan p prímszám (itt: primitív prímosztó), ami osztója az számnak, de nem osztója az -nek egyetlen pozitív egész értékre sem, a következő kivételektől eltekintve:
, ; ekkor = 1, aminek nincsenek prímosztói. , kettőhatvány; ilyenkor bármilyen páratlan prímtényező, ami szerepel = -ben szükségképpen az -ben szerepel, ami szintén páros , , ; ebben az esetben = 63 = 3²7 =
Ez az eredmény Bang tételének általánosítása, amely szerint ha és n nem egyenlő 6-tal, akkor rendelkezik olyan prímosztóval, amely nem osztója -nek egyetlen számra sem.
Hasonlóan, -nek legalább egy primitív prímosztója van az eset kivételével.
Zsigmondy tétele gyakran jól jön, különösen a csoportelméletben, ahol annak bizonyítására használják, hogy különböző csoportoknak eltér a rendjük, kivéve amikor ismert róluk, hogy megegyezik.
Története A tételt Zsigmondy ismerte fel, mialatt Bécsben tartózkodott 1894 és 1925 között.
Általánosításai Legyen pozitív egész számokból álló sorozat. A sorozathoz tartozó Zsigmondy-halmaz a következő:
tehát azon indexek halmaza, melyekre bármely -t osztó prímszám valamely -nek is osztója, ahol . A Zsigmondy-tételből tehát következik, hogy , a Carmichael-tétel szerint a Fibonacci-sorozat Zsigmondy-halmaza , míg a Pell-sorozaté . 2001-ben Bilu, Hanrot és VoutierY. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122 bebizonyították, hogy általánosságban, ha egy Lucas-sorozat vagy Lehmer-sorozat, akkor . A Lucas- és Lehmer-sorozatok az oszthatósági sorozatok speciális esetei.
Szintén ismert, hogy ha egy elliptikus oszthatósági sorozat, akkor a hozzá tartozó Zsigmondy-halmaz véges.J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237 Ez az eredmény nem túl hatásos abban az értelemben, hogy a bizonyítás nem ad felső korlátot legnagyobb elemére nézve, lehetséges viszont hatásos felső korlátot adni elemszámára.P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.
Kapcsolódó szócikkek Carmichael-tétel
Jegyzetek
További információk
Kategória:Számelméleti tételek