A matematikában az ortogonális koordináta-rendszerekben az egyes koordinátákhoz tartozó koordinátafelületek ortogonálisan (derékszögűen) metszik egymást. Egy adott qk (a felső index most nem hatványozás, hanem Einstein-féle jelölés) koordinátához tartozó koordinátavonal, koordinátafelület vagy koordináta-hiperfelület, ahol a qk konstans. Például az (x, y, z) Descartes-féle koordináta-rendszer ortogonális, hiszen koordinátafelületei, az xy, az yz és az xz koordinátasíkok egymásra merőlegesek. Az ortogonális koordináta-rendszerek a görbevonalú koordináta-rendszerek speciális esetei.
Motiváció bélyegkép|jobbra|Téglalaprács konform leképezése. Jegyezzük meg, hogy a derékszögűség megmarad Míg a vektorműveletek és a fizikai törvények általában legkönnyebben a Descartes-koordinátákkal írhatók le, gyakran más koordináta-rendszereket használnak különböző problémák leírására, például peremérték problémák, amelyek különböző alkalmazásokból származnak, mint kvantummechanika, áramlástan, elektrodinamika, plazmafizika, hő és anyagok diffúziója.
A nem Descartes-féle koordináta-rendszereknek az az előnye, hogy az adott probléma szimmetriájához képest választhatók. Például egy robbanás nyomáshulláma legerősebben a nyomás középpontjától kifelé terjed, így gömbi koordinátákban a probléma majdhogynem egydimenzióssá válik. A nyomáshullám Descartes-féle koordináta-rendszerben a helytől függ. Egy másik probléma egy gyűrű alakban áramló folyadék: Descartes-féle koordináta-rendszerben parciális differenciálegyenlettel leírható, de hengerkoordináta-rendszerben egydimenzióssá válik, és parciális differenciálegyenlet helyett csak differenciálegyenletet kell megoldani.
Az ortogonális koordináta-rendszerek az egyszerűség miatt részesítik előnyben a nem ortogonális koordináta-rendszerekkel szemben. Például lehetővé teszik több probléma megoldását a változók szétválasztásával. A változók szétválasztása egy módszer ahhoz, hogy egy többváltozós differenciálegyenletből egyváltozós differenciálegyenlet-rendszert hozzanak létre, amelyek megoldhatók ismert függvények segítségével. Több egyenlet visszavezethető Laplace egyenletére vagy a Helmholtz-egyenletre. Laplace egyenlete szétválasztható 13 ismert ortogonális koordináta-rendszerben (a kivétel a toroid koordináta-rendszer), és a Helmholtz-egyenlet szétválasztható 11 ismert ortogonális koordináta-rendszerben.
Egy további előny, hogy az ortogonális koordináta-rendszerek metrikus tenzora diagonális. Ez ekvivalens azzal, hogy az infinitezimális ds2 távolságnégyzet írható, mint a négyzetre emelt infinitezimális koordináta-elmozdulás skálázott összege:
ahol d a dimenzió, és a skálázási egyenletek (vagy skálázási tényezők):
egyenlő a metrikus tenzor átlós elemeinek négyzetgyökeivel, avagy a lokális bázisvektorok hosszával. Erről később még lesz szó. Ezeknek a hi skálázási tényezőknek a segítségével különböző differenciáloperátorok számolhatók át az új koordinátákra, mint a gradiens, a Laplace-operátor, a divergencia és a rotáció.
A kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszerek generálásának egy egyszerű módja a Descartes-koordináta-rendszerre alkalmazott konform leképezés. Legyenek a Descartes-koordináták (x, y); ekkor a koordináták kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a z = x + iy komplex számmal, ahol i a képzetes egység. Bármely w = f(z) holomorf függvény, melynek deriváltja különbözik a nullától, konform leképezést generál. Ha a kapott komplex számot úgy írjuk, mint w = u + iv, akkor a konstans u és v értékekhez tartozó görbék derékszögben metszik egymást, ahogy azt a konstans x és y koordinátagörbék is teszik.
A kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszerek magasabb dimenziókra is kibővíthetők. Felvetítéssel hengerkoordinátákhoz jutunk, de meg is forgathatjuk a kétdimenziós koordináta-rendszert valamelyik szimmetriatengelye körül. Azonban vannak más ortogonális koordináta-rendszerek, mint például az ellipszoid koordináta-rendszer. Általánosabb rendszerekhez juthatunk, ha vesszük a szükséges felületeket, és ortogonális trajektóriáikat.
Bázisvektorok Kovariáns bázis bélyegkép|upright=1.3|Kétdimenziós ortogonális koordináták. Az ábra mutatja azokat a görbéket, melyek egy kivételével az összes többi rögzítésével kaphatók, bázisvektoraikkal. Jegyezzük meg, hogy a bázisvektoroknak nem kell egyenlő hosszúaknak lenniük: csak az ortogonalitás követelmény
A Descartes-féle koordináta-rendszerekben a bázisvektorok konstansok. Az általánosabb görbe vonalú koordináta-rendszerek esetén pontonként határozható meg helyi vektorbázis. Ezek általában nem konstansok: ez a görbe vonalú koordináta-rendszerek lényege, és így egy fontos fogalom. Ortogonális koordináta-rendszerek esetén ezek mind ortogonális bázisok, azaz
Ezek a bázisvektorok definíció szerint érintői azoknak a görbéknek, amelyek úgy kaphatók, hogy egy kivétellel rögzítjük a koordinátákat, és egy változhat:
ahol r egy pont, és qi az a koordináta, melyhez tartozó bázisvektort kivonatoljuk. Más szavakkal, a többi koordináta rögzítése mellett ezt a koordinátát paraméterként változtatjuk; a befutott görbét e paraméter mentén deriváljuk, és így kapjuk a koordinátához tartozó bázisvektort.
Jegyezzük meg, hogy a helyi bázis vektorai nem feltétlenül egyenlő hosszúságúak. Hosszaik megegyeznek a helyi skálázási tényezőkkel. Pontosabban, a skálázási tényező az helyi bázisvektor hossza. A skálázási tényezőket nevezik Lamé-együtthatóknak is, ami nem tévesztendő össze a Lamé-paraméterekkel.
A normalizált bázisvektorokat kalapos betűk jelölik, és a megfelelő hosszakkal leosztva kaphatók:
Egy vektormező megadható komponenseivel a bázisvektorokban, vagy a normalizált bázisvektorokban. Alkalmazásokban inkább a normalizált bázisvektorokat használják, hogy a mennyiségek könnyebben értelmezhetőek legyenek. A deriváltakban inkább a bázisvektorokat használják.
Kontravariáns bázis A fent megadott helyi bázisok a kovariáns bázisok, hiszen hosszuk együtt változik a vektorokkal. A kontravariáns vektorok iránya ugyanaz, mint a kovariáns bázisvektoroké, de hosszuk annak reciproka. Azt mondják, hogy a két bázis reciproka egymásnak:
ami következik abból, hogy definíció szerint (a Kronecker-deltával). Jegyezzük meg, hogy:
Most három bázisunk is van a vektorok leírásához: az ei kovariáns bázis, az êi normalizált bázis és az ei kontravariáns bázis. Míg egy vektor objektív mennyiség, azaz független a koordináta-rendszertől, a vektor komponensei függenek a koordináta-rendszertől.
A zavar elkerülése érdekében egy x vektor koordinátái az ei bázisban xi, az ei bázisban xi:
Az indexek helyzete a komponensek számítási módját mutatja, ami nem tévesztendő össze a hatványozással. Jegyezzük meg még azt is, hogy a szumma szimbólumon belül, illetve a teljes bázisra kiterjedő összegzési tartományt gyakran mellőzik (Einstein-féle notáció):
Ezzel szemben nincs elterjedt jelölés a normalizált bázisban megadott vektorkomponensek számára; a cikkben alsó indexeket használunk, és megjegyezzük, hogy normalizált bázist használunk.
Vektoralgebra A vektorok koordinátánként összeadhatók és kivonhatók, a Descartes-féle koordináta-rendszerhez hasonlóan. A többi vektorművelet végrehajtásához azonban további meggondolások szükségesek.
A következőkhöz megjegyezzük, hogy mindkét vektornak ugyanabban a helyi bázisban kell adva lennie. Mivel a különböző pontokhoz különböző bázisok tartoznak, azért ilyenkor figyelembe kell venni a különböző helyi bázisokat. Skaláris szorzat Descartes-féle koordináta-rendszerben a skaláris szorzat a megfelelő koordináták szorzatának az összege. Ortogonális koordinátákban két vektor, x és y skalárszorzata ugyanezt az alakot ölti a normalizált bázisban:
Ez annak a következménye, hogy a normalizált bázis ortonormált. Kovariáns vagy kontravariáns esetben:
Ez származtatható abból, hogy a vektorokat komponensekre bontjuk, normalizáljuk a bázisvektorokat, és vesszük a skaláris szorzatot. Például két dimenzióban:
Vektoriális szorzat Descartes-koordinátákban két vektor vektoriális szorzata három dimenzióban van értelmezve:
A fenti képlet ortonormált bázisokban érvényes. Kovariáns és kontravariáns bázisokban a bázisokat normalizálni kell:
ami kifejtve:
A Levi-Civita-tenzor lehetővé teszi a vektoriális szorzat tömör jelölését, ami leegyszerűsíti a vektoriális szorzat általánosítását nem ortogonális bázisokra és magasabb dimenziókra. A Levi-Civita-tenzor tartalmaz nullától és egytől különböző elemeket, ha a skálázási tényezők nem mindegyike egyenlő eggyel.
Vektorkalkulus Differenciálás Tekintve egy pont infinitezimális elmozdulását, nyilvánvaló, hogy:
definíció szerint egy függvény gradiensének teljesítenie kell, hogy:
A szabály ugyanez, ha ƒ tenzor. Következik, hogy a nabla operátor:
és ez igaz marad görbe vonalú koordinátákban. A gradiens és a Laplace-operátor számítható a nabla operátor segítségével.
Alapképletek Az êi normalizált bázisvektorokból és dr-ből a következők konstruálhatók:Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, .Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009,
Differenciálelem Vektorok SkalárokVonalelemA qi koordinátagörbe érintővektora: Infinitezimális hosszúságFelszínelem A qk = konstans koordinátafelület normálisa: Infinitezimális felszínTérfogatelemN/AInfinitezimális térfogat
ahol:
a Jacobi-determináns, melynek geometriai reprezentációja a dxdydz infinitezimális kocka térfogat-deformációja az ortogonális koordináta-rendszer infinitezimális görbült térfogatára.
Integrál A fenti vonalelemmel egy F vektor egy útvonala menti vonalintegrál:
Egy konstanson tartott qk koordinátával leírt felület infinitezimális felszíneleme:
Hasonlóan, a térfogatelem:
ahol a nagy Π szimbólum szorzást jelöl ahhoz hasonlóan, ahogy egy nagy Σ összegzést jelöl. Jegyezzük meg, hogy a skálázási tényezők szorzata megegyezik a Jacobi-determinánssal.
Például egy F vektorfüggvény felületi integrálja egy q1 = konstans felület mentén három dimenzióban:
Jegyezzük meg, hogy F1/h1 az F felszínre normális komponense.
Differenciáloperátorok három dimenzióban Mivel ezek az operátorok gyakoriak az alkalmazásokban, azért ebben a szakaszban a normalizált bázist használjuk: . Operátor Kifejezés Skalármező gradiense Vektormező divergenciájaVektormező rotációja Skalármező Laplace-operátora
Az Levi-Civita-szimbólummal és a Jacobi-determinánssal, melyre , és az ismétlődő indexek összegzésének feltételezésével a fenti képletek kompaktabban is írhatók: Operátor Kifejezés Skalármező gradiense Vektormező divergenciájaVektormező rotációja (csak 3 dimenzióban) Skalármező Laplace-operátora
Megjegyezzük, hogy skalármező gradiense kifejezhető a J Jacobi-mátrixszal és a kannikus parciális deriváltakkal:
bázisváltással:
ahol a forgató és skálázó mátrixok:
Gyakoribb ortogonális koordináták A szokásos Descartes-koordinátarendszer mellett még gyakran használnak több más koordináta-rendszert is. Ezeket az alábbi táblázat tartalmazza. A tömörség kedvéért az egyes koordináták által befutott intervallumokat intervallumként jelöljük egyenlőtlenségek helyett.
Görbevonalú koordináták: q1, q2, q3) Transformáció az (x, y, z) Descartes-koordinátákra Skálázási tényezők Gömbkoordináták Hengerkoordináta-rendszer Parabolikus hengerkoordináta-rendszer Forgásparaboloid koordináta-rendszer Paraboloid koordináta-rendszer ahol Ellipszoid koordináta-rendszer ahol Elliptikus hengerkoordináta-rendszer Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer Lapított ellipszoid koordináta-rendszer Bipoláris hengerkoordináta-rendszer Toroid koordináta-rendszer Biszférikus koordináta-rendszer Kúpkoordináták
Jegyzetek
Fordítás
Források
Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164–182.
Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172–192.