A „szigorúság forradalma” kifejezés a matematika történetének azt a 19. századra eső időszakát jelenti, amikor a matematika módszereiben és szóhasználatában azt a rá jellemző nagyon precíz és egzakt képét vette föl, amit ma is tapasztalhatunk, ha kinyitunk egy matematikakönyvet.

Ugyan az axiomatikus módszer már Euklidesz kora óta látványos, és – mintaszerű volta miatt – kitüntetett jelentőségű objektivitást és tudományosságot biztosított a matematikai vizsgálódásoknak, a kutatási területek terebélyesedése és rohamos fejlődése miatt a ma szokásosnak tartott mértékű egzaktság szinte csak a számelméletre és az euklideszi szerkesztések geometriájára volt jellemző. A 17-18. században még jó eredményeket produkáló matematikai analízisben megjelentek az első ellentmondások. Ellenpéldák bukkantak fel olyan tételekre, melyeket neves szerzők korrektnek hitt módon bebizonyítottak. A helyzet akkor vált mégis tarthatatlanná, amikor kiderült, a furcsaságok és ellentmondások megjelenése nem korlátozódik a módszertanában már a kezdetektől fogva kritizált analízisre. A térgeometriában ellenpéldákat hoztak az Euler-féle poliédertételre. Kiderült, hogy olyan ellentmondásmentes síkgeometria is kidolgozható – valamiféle „görbe síkfelületként” – melyben a háromszög belső szögeinek összege kisebb mint 180° (ez a nemeuklideszi geometria). Hasonló, a szemlélettel, a tudományos tradíciókkal és közfelfogással szemben álló vagy más módon (pl. bizonyos filozófiai alapra helyezkedve) támadható, vitatható, erős kritika alá vett eredmények születtek a valós számok számának végtelenségére vonatkozóan.

A matematika egyes módszerei filozófiai vitákhoz is vezettek. George Berkeley egy nevezetes vitairatban (Az analizáló, 1734) támadta meg az analízis korabeli módszereit, amely a végtelen kis mennyiségek explicit használatán alapult. Ez akkoriban nem kis bátorságot, önbizalmat és szakértelmet igényelt, mivel Newton, akinek matematikai eszméit az írás bírálta, feltétlen tekintélynek örvendett. Az írásból bontakozott ki a 18. század matematikájának több kötetre rúgó ún. analízis-vitája.Faragó Szabó istván: Az analizáló (George Berkeley püspök vitairata angol és magyar nyelven). Ponticulus.hu (online, közhasznú folyóirat); IX. évf. 2. szám (2005 február). Hiv. beill.: 2014-07-08. Berkeleyt filozófiai és teológiai elgondolások motiválták, tehát egy jól meghatározható álláspontból indult ki; a szűkebb szakmai kritikai részeit tekintve azonban teljesen jogos bírálat hatására több, kezdetben sikertelen próbálkozás is született a függvénytan infinitezimális módszereinek megalapozására. A később felfedezett függvénytani anomáliák bizonyos mértékig igazolták Berkeley véleményét.

A megoldást egyrészt az aritmetizálás, másrészt deduktivizálás, harmadrészt a formalizálás jelentette. Ezek a fogalmak mást és mást jelentenek, de erősen összefüggnek.

Az aritmetizálás („számelméletesítés”) során az analízis és a valós számok elméletének bizonytalan fogalmait megpróbálták visszavezetni a természetes számok biztosnak tekinthető elméletére. Később az aritmetika szerepét a halmazelmélet és logika vette át. A geometriai fogalmak helyett (mint pl. az érintő) számváltozókat tartalmazó képleteket használtak, ahol csak lehetett: a differenciálhányados, mint egy görbét érintő egyenes, értelmezését így váltotta fel az epszilon-delta számításokra alapuló határértékes fogalom; a végtelen kis számokat jelölő differenciálmennyiségek pedig puszta formalitássá váltak.

A deduktivizálás („levezetéselvűvé alakítás”) a szigorú bizonyításelemzés módszerét jelentette, amely euklideszi mintára csekély számú alapvetőbb fogalomból és alapállításból építette fel az elméleteket, kizárva így az elhamarkodott téves következtetéseket, általánosításokat. A logicisták fellépésétől kezdve az aritmetika mint báziselmélet szerepét egyre inkább a logika vette át annak ellenére, hogy a logicista program bizonyos értelemben kudarcosnak bizonyult. Az axiómákat már nem úgy választották meg, hogy az alapvető sarkkőnek tekinthető állításokat rögzítették, hanem hogy pontról pontra megvizsgálták, hogy a konkrét bizonyítások során milyen előfeltevések szükségesek a tételek állításának igazolásához.

A formalizálás („képletesítés”) a tér- és időszemlélettől, a „józan” formaérzéktől és a matematikai tételeket fizikailag motiváló tartalomtól való tudatos elszakadást jelentette, amely a vizuálisan belátható megállapítások helyett a deduktív bizonyítások aritmetikai, illetve logikai szerkezetére alapozott. E folyamatok eredményeképp szinte minden, ami a matematikában vizuális jellegű volt, a huszadik század második felére fokozatosan kiszorult a felsőbb matematikából. A teljesen tudatos átalakítás célja az volt, hogy megszüntessék a megbízhatatlannak és filozófiailag töltöttnek számító tér- és időszemléletre hivatkozást. Ennek a folyamatnak a társadalmilag hátrányos hatásai csak a huszadik század legvégén váltak igazán nyilvánvalóvá.

Ezen módszerek tudatos, de fokozatos uralkodóvá válását nevezte Lakatos Imre a szigorúság forradalmának, amellyel a korszak névadójává vált.

A nemeuklideszi geometria kezdetei Az első hullám: Cauchy, Bolzano, Weierstrass

bélyegkép|100px|jobbra|A. L. Cauchy, egy szigorúsági forradalmár bélyegkép|100px|jobbra|K. T. W. Weierstrass, egy másik szigorúsági forradalmár

Ez a törekvés az 1800-as évek eleje óta egyre erősödő áramlatává vált a matematikai kutatásoknak. Tekintélyes matematikusok, mint Augustin Louis Cauchy és Karl Theodor Wilhelm Weierstrass és népszerű matematikus-filozófusok, mint B. Bolzano, kritikai revízió alá vettek olyan fogalmakat, mint a függvény, határérték, differenciálhányados vagy épp a végtelen. Megkezdődött az a korszak, amit gyakran illetnek „a szigorúság forradalma” névvel. Eredményeik azonban még beilleszkedtek az akkori modern matematika félig geometriai, félig aritmetikai jellegébe, noha már csak precizitásuknál és aritmetikai formalizmusuknál fogva is újdonságként hatottak, és fontos gondolatokat, észrevételeket tartalmaztak.

A második hullám: Dedekind, Frege, Russell, Hilbert

Sokan gondolták úgy, hogy ha sem az aritmetika (illetőleg az ennél bővebb analízis), sem a geometria évezredes tételeiben nem lehetünk biztosak, akkor ildomos lenne az egész matematika legvégső alapjait is megvizsgálni és újragondolni, sőt a matematikának vitáktól és problémáktól mentes megalapozását adni (fundacionalizmus). Különösen gyakran tetten érhető volt az a Leibnizre visszavezethető nézet, hogy a matematika részben vagy egészben a logika része (logicizmus), amelynek fő képviselő Gottlob Frege és Bertrand Russell voltak. Mindketten megpróbálták az egész matematika újraaxiomatizálását, bár nem a halmazelméletre, hanem a matematikai logikára építettek. Csatlakozott hozzájuk R. Dedekind is, aki, miután sikerült az irracionális számok topológiai-halmazelméleti jellegű definíciója, axiómarendszert adott a természetes számok felépítésére. Munkáját G. Peano folytatta, aki Dedekind eredményeinek felhasználásával alkotta meg a ma is elterjedt Peano-axiómarendszert. Egy másik irányt képviselt Hilbert, aki a logicizmus helyett a finitizmus képviselője volt. A fundacionalisták közé soroljuk az intuicionista iskola követőit is.

A végső csapások a geometriai megalapozásnak

Az 1800-as évek második felének közepére a nemeuklideszi geometriák is a matematikai érdeklődés középpontjába kerültek. Az analízis mellett elkezdődtek a próbálkozások a geometriai szigorú felépítésére is. Mintának Euklidesz axiómarendszere számított, s a fogalmi revízió mellett (bár a dolog természeténél fogva, szükségképp ez is tetten érhető volt) a geometriai tételek és axiómák vizsgálata játszotta a fő szerepet. Gauss, Bolyai, Lobacsevszkij és mások ugyanis még a húszas-harmincas években felfedezték, hogy Euklidesz párhuzamossági posztulátuma elfogadása helyett annak tagadására is lehet építeni. A matematikus közösség megosztott volt az új geometria elfogadásával kapcsolatban, de a geometria „szigorúsági forradalmában” az ellenzők és támogatók is részt vettek, mint például M. Pasch (aki egy Euklideszével azonos geometriát épített fel újra), Gottlob Frege (aki kategorikusan tagadta, hogy a nemeuklideszi geometria önálló létezéssel rendelkezne) vagy D. Hilbert (aki többféle euklideszi vagy egyéb tradicionális axiómától mentesített rendszert is megvizsgált), és még sokan mások.

Mindazonáltal a matematikusok többsége a nemeuklideszi geometriák felfedezéséig és elfogadásáig nem tulajdonítottak túl nagy jelentőséget a számfogalom megalapozásának, és a folytonos függvények elmélete nagyrészt továbbra is hagyatkozott a – most már irracionális számokkal „bővített” – számegyenes folytonosságának szemléletére. Azt, hogy az euklideszi geometria egyeneseinek azonosíthatóságát a valós számok halmazával a matematika egyik axiómájaként vegyék fel, egyébként épp a halmazelmélet atyja, Cantor javasolta az 1870-es évek elején, s ez az elképzelés tért vissza a G. D. Birkhoff 1932-ben publikált geometriai axiómarendszerében.Birkhoff, G. D.: A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors), Annals of Mathematics 33., 1932.

Már a nemeuklideszi geometriák felfedezése is súlyos megrázkódtatást jelentett, a legújabb topológiai eredmények azonban – legalábbis a matematikusok körében – legalább ennyire megrázónak bizonyultak.

Cantor például 1874-től kezdve kezdett foglalkozni azzal a kérdéssel, hogy létezhet-e egy-egy értelmű megfeleltetés (vagyis a számosságok azonossága) két különböző dimenziós alakzat között (ugyanebben az évben írta meg azt a cikkét, melyet a halmazelmélet születésének tekintünk). Úgy gondolta, hogy annyira nyilvánvalóan „nem” a válasz, hogy még bizonyítás sem szükséges – és ebben egészen bizonyosan osztozott a matematikusok többségével, hiszen például egy négyzet látszólag jóval „több” pontot tartalmaz, mint az egyik oldala, amely csupán egy igen csekély kiterjedésű valódi részhalmaza.

bélyegkép|jobbra|300px|Peano görbéjének megszerkesztése: a végtelenül hosszú, végtelenül vékony egydimenziós fonal elegendő mértékben gyűrve egyre kétdimenziósabb lesz, mígnem teljesen lefedi a négyzetet

1877-ben várakozása ellenére sikerült bebizonyítania, hogy mégiscsak „igen” a válasz a kérdésére, és tetszőleges n>0 esetén a teljes n dimenziós tér egy-egy értelmű módon leképezhető nemhogy az 1 dimenziós térre (egyenesre), hanem annak egy véges kiterjedésű részére, az egységszakaszra is. „Látom, de képtelen vagyok elhinni” – írta kollégájának, Dedekindnek egyik levelében. Majd azon kezdett dolgozni, hogy bebizonyítsa, még ha léteznek is ilyen leképezések, azok mind „csúnya”, nem folytonos függvények (az ő egy-egyértelmű leképezése ugyanis nem volt folytonos).

Később G. Peano megadott egy folytonos görbét, mely cáfolta Cantornak ezt a sejtését is. Peano görbéje olyan egydimenziós alakzat, amely folytonosan és önmagát nem metszően (azaz egy-egyértelmű megfeleltetést biztosítva) áthalad egy egységnyi oldalú négyzet minden pontján, azt teljesen „letakarva”.

bélyegkép|középre|400px|Hilbert hasonló görbéje

Ezzel a matematikusok hite a geometriai szemlélet megbízhatóságában végképp megingott. Komoly feladattá vált a matematika olyan szigorú megalapozása, mely minél kevésbé támaszkodik a térszemléletre. A fiatal kutatók új utakat kezdtek keresni a matematika megalapozásához, és úgy látszott, a „tárgyak, dolgok sokasága”, azaz a „halmaz” (más kifejezésekkel „osztály”, „rendszer” stb.) fogalma lesz az az alapvető fogalom, amelyre a jövő matematikája épülni fog és amely alapja lehet a matematikusok teljes tudományos konszenzusának. Ez a sejtés végül is csak részben bizonyult igaznak, legalábbis nem mentes a problémáktól, ennek ellenére a halmazelméletet a matematikusok többsége a huszadik században a matematika uralkodó keretelméletének tartotta. Ez a felfogás csak napjainkban, néhány évtizede látszik változni és nagyon lassan (elsősorban matematikadidaktikai reformáramlatok hatására).

A halmazelmélet születése