A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak a nála nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak a nála nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;Lemmermeyer, pp. 10, 23. a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.Iverson, p. 12.Higham, p. 25. A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.
Definíciók Alsó egészrész Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:
Így például .
Felső egészrész
Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:
Például: . Törtrész Egy x valós szám törtrésze az alsó egészrészétől való távolsága, azaz . Nyilván mindig teljesül, hogy .
Példa:
érték alsó egészrész felső egészrész törtrész 2,4 2 3 0,4 2,7 2 3 0,7 −2,7 −3 −2 0,3 −2 −2 −2 0
Tulajdonságok Ekvivalens definíciók Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban pontosan egy egész szám van, ezért bármely x valós szám esetén egyértelműen léteznek olyan m és n egészek, amikre:
Ekkor az egészrészek definícióiból és . Számolás egészrészekkel A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:
Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot is mutatják:
Egész szám hozzáadásának hatása:
Ha n nem egy egész, akkor a fenti egyenlőségek helyett felírhatóak:
Ezek csupa egész értékek, ezért bármilyen x, y valós számokra
A függvények kapcsolata A definíciók alapján nyilván , ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész. Tehát
Az argumentum előjelét megváltoztatva az egészrész függvények egyike előjelváltással a másikra cserélhető, és fordítva. Ez így írható formálisan: .
Fennállnak továbbá a következő összefüggések is:
A felső és az alsó egészrész, illetve a törtrész idempotens:
A két egészrész függvény összetevésével (kompozíciójával) visszakapjuk a belső függvényt, azaz és . Osztások Ha m, n egészek és n ≠ 0, akkor
Ha n pozitív,Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72 akkor
Ha m pozitív,Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 akkor
m = 2-re sajátosan: .
Az ún. Hermite-azonosságGraham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15 szerint pozitív egész m-ek és valós x-ek esetén:
Egész számlálójú, pozitív egész nevezőjű racionális számok esetén az egészrészek közötti áttérési összefüggésekGraham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12:
Ha m és n is pozitív egész, és relatív prímek, akkor
A jobb oldali kifejezés szimmetrikus m-ben és n-ben, ezért
Ennek egy általánosítása pozitív m-re és n-re, illetve tetszőleges valós x-reGraham, Knuth, & Patashnik, p. 94:
Pozitív n-re és valós x, y-ra:
Jellemzés A felső és alsó egészrész, illetve a törtrész függvények nem folytonosak a teljes ℝ-en – szakadási pontjaik az egész számok. Nem párosak és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. A alsó egészrész és a törtrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos minden pontban. A szakadási pontok elsőfajúak – mindkét oldali határérték létezik és véges. Az egészrészek monoton növekvőek. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.
Ezek a függvények nem fejthetők Taylor-sorba, mivel nem folytonosak. Ezen kívül Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.
Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:
A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.
Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával
Alkalmazások Kapcsolat a modulo operátorral A mod operátor (minden y ≠ 0 esetén) így definiálható:
x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel, ezért az y előjelétől függően vagy .
Ha x egész és y pozitív, akkor
Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény. Kvadratikus reciprocitás Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen
Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra
és
A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy
Összetéve
Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:Lemmermeyer, p. 25
Kerekítés A pozitív számok egészekre kerekítése az függvénnyel, a negatív számoké az függvénnyel írható le. Tizedesjegyek levágása A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre , nem pozitív egészekre pedig .
A szignumfüggvény felhasználásával: . Jegyek száma Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben Faktoriálisok prímtényezős felbontása Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásábanHardy & Wright, Th. 416:
Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!. Beatty-sorozatok A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
Az Euler-konstans Több képletben is együtt szerepel az egészrésszel a γ = 0,5772156649... Euler–Mascheroni-konstans:
Riemann-féle zéta függvény A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.
Parciális integrálással megmutatható,Titchmarsh, p. 13 hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor
Ha most φ(n) = n−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:
Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.Titchmarsh, pp.14–15
A kritikus sávban levő s = σ + i t-re
1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.Crandall & Pomerance, p. 391
Prímszámok n akkor és csak akkor prím, haCrandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
Legyen r > 1 egész, pn az n-edik prím, és
EkkorHardy & Wright, § 22.3
Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy
mind prímek.Ribenboim, p. 186
Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy
mind prímek.
Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:Ribenboim, p. 181
Tehát, ha n ≥ 2,Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk. Ramanujan problémái Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
Ha n pozitív egész, akkor:
(I)
(II)
(III)
Ezeket az állításokat sikerült belátni.
Megoldatlan kérdések A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:
Van-e k, k ≥ 6 egész, hogyHardy & Wright, p. 337
MahlerMahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124 belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.
Jegyzetek
Források
További információk
Kategória:Függvények