A geometriai rendszerek – geometriák – az alapozásban megfogalmazott premisszákban<A definíciók, axiómák, posztulátumok közös megnevezése> különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük. Eleinte csak az elsőként felfedezett Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriát illették az elnevezéssel, de később újabb geometriákat is találtak.

Az euklideszi párhuzamosság Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát: 23. definíció: Két egyenes párhuzamos, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást.

Az évezredes problémát okozó 5. posztulátum pedig kimondja, hogy Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

A nemeuklideszi párhuzamosság jobbra

Bolyai és Lobacsevszkij a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az egyenesen kívül fekvő pont körül forgatott egyenesek közül az a párhuzamos az -mel, amelyik elpattan tőle. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az első nem metsző. Bolyai ezt a párhuzamost aszimptotikus párhuzamosnak, vagy egyszerűbben aszimptotának nevezte.<A történeti hűséghez tartozik, hogy Lobacsevszkij és Bolyai szemlélete között a lényeget nem érintő eltérés van: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát – a metszőkét és a nem-metszőkét – elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak, míg Bolyai a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél.>

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a párhuzamosság szögének nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a pont és az egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: . Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy Lobacsevszkij a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő hiperbolikus geometria tételeit, míg Bolyai a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az abszolút geometria tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

250px|bélyegkép|balra

A hiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, aszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.

Egy harmadik párhuzamosság 150px|bélyegkép|balra 150px|bélyegkép|jobbra

Az 5. posztulátum elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet derékszögnél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó Gerolamo Saccheri (1667–1733) és Johann Heinrich Lambert (1728–1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb -nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált:

1. Egyszeres elliptikus geometria: 1/a. Az egyenes nem választja el egymástól a két félsík pontjait. 1/b. Két egyenesnek mindig van egy közös pontja. 2. Kétszeres elliptikus geometria: 2/0. Az egyenes elválasztja a két félsík pontjait. 2/b. Két egyenesnek pontosan két közös pontja van.

Az elliptikus geometria az euklideszi gömbfelületén érvényes szférikus geometriával rokon. A hiperbolikus geometria a pszeudoszféra felületi geometriájával modellezhető.

A három geometria összevetése Fájl:Nemeuklideszi-geom-5.gif

Felix Kleintől (1849–1925) származik a háromféle geometria és a kúpszeletek nomenklatúrájának összekapcsolása, mely ez utóbbiak ideális pontjainak száma és az egyeneshez külső pontból húzható párhuzamosok száma közötti analógiára utal. Ennek nyomán használjuk ezeket a jelzőket az Eukleidész (parabolikus), a Bolyai-Lobacsevszkij (hiperbolikus) és a Riemann (elliptikus) nevéhez kapcsolt geometriák megkülönböztetésére.

Az alábbiakban a három rendszerben érvényes néhány trigonometriai összefüggésből látható a különbség, de a rokonság is: 1. A síkháromszögek szinusztétele: 1.a. Euklideszi: . 1.b. Hiperbolikus: . 1.c. Elliptikus: . 2. A síkháromszögek koszinusztétele: 2.a. Euklideszi: . 2.b. Hiperbolikus: . 2.c. Elliptikus: .

(Az elliptikus tételek a gömbháromszögtan ismert összefüggései.)

Még több geometria Fájl:Nemeuklideszi-geom-6a.gif

Arthur Cayley (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodva Felix Klein hívta fel a figyelmet arra, hogy a három geometria az egyenesen három eltérő metrikát használ: (A. ábra)

A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszát az egységhez () viszonyított arányukkal méri: . Az elliptikus metrika a külső pontból induló egyenesek szögével méri a szakaszt: . A hiperbolikus metrika az és alappontokkal alkotott kettősviszonyt használja: .

Fájl:Nemeuklideszi-geom-6b.gif

A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra):

Parabolikus metrika: . (A csúcsot elkerülő egyenesen levő metszet) Elliptikus metrika: . (A "közönséges" szögmérték) Hiperbolikus metrika: .

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27-féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

Fájl:Nemeuklideszi-geom-7.gif

Ezeknek a síkgeometriáknak a "létezését" modellek segítségével lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek és/vagy a pontok szerepét más alakzatok veszik át. A véges modellek használata vezetett a véges geometriák megalkotásához.

Jegyzetek

További információk Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960 Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita), (Online a doksi.net-en) Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest/Berlin, 1993 Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula fordítása), Gondolat, 1983, (Elemek I. könyv, online a MEK-en) Bolyai János: Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973) Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgálatok...( Akadémiai Kiadó, 1951) Einstein, Albert: A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963) Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968) Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??) Jaglom, I.M.: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, 1985) Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??) Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba (Akadémiai Kiadó, 1972)

Kapcsolódó szócikkek projektív geometria

Kategória:Geometria