Srínivásza Rámánudzsan Ijengar (, , szokásos latin betűs átírásban Srinivasa Ramanujan Iyengar; 1887. december 22. – 1920. április 26.) indiai matematikus zseni. Magasabb tanulmányok folytatása nélkül jelentős felfedezéseket tett a matematikában, különösen a számelméletben, a kombinatorikus számelméletben (partíciókkal kapcsolatos problémák) és a végtelen sorokkal kapcsolatban.

Rámánudzsan az indiai Tamilnádu állambéli Irodu nevű kisvárosban született, és ugyanott nevelkedett fel. Srínivásza az apja után kapott neve volt, de ezt még hivatalos iratokon is ritkán használta, vagy „S.” betűvel rövidítette. Az Ijengár dél-indiai brahmin kaszt után kapott neve volt, amihez családja tartozott. A Rámánudzsan nevet egy i. sz. 1100 körül élt szent ember, Rámánudzsa után kapta. A Rámánudzsan név jelentése: „Ráma fiatalabb testvére”. Rámánudzsan maga Ramanujan alakban írta a nevét, amikor latin betűket használt.

Élete Gyermek- és ifjúkora Rámánudzsan 1887. december 22-én született az indiai Tamilnádu állambéli Irodu nevű városban, anyai nagyszülei házában, egy bráhmin kasztbeli tamil családban.Kanigel (1991), 11. o. Apja, a tandzsávúri származású K. Srinivasza Ijengar könyvelőként dolgozott egy szárikat árusító üzletben.Kanigel (1991), 17–18. o. Anyja, Komalatammal háziasszony, egyúttal a helyi templom énekese volt. Kumbakonam városban, a Sarangapani Sannidhi utcában laktak egy hagyományos kelet-indiai házban, amelyet mára múzeummá alakítottak át. Rámánudzsan másfél éves korában öccse született, Szadagopan, aki azonban nem egészen három hónaposan meghalt. 1889 decemberében Rámánudzsan himlős lett, azonban meggyógyult, ellentétben a Tandzsávúr kerületi több ezer áldozattal.Kanigel (1991), 12. o. Ezt követően anyjával a Madrász közelében fekvő Káncsipuramba költöztek, anyai nagyszüleihez. Az elkövetkező években két testvére született, 1891-ben és 1894-ben, azonban mindketten meghaltak még csecsemőkorukban.

1892. október 1-jén Rámánudzsan megkezdte tanulmányait a helyi iskolában.Kanigel (1991), 13. o. Miután bírósági tisztviselőként dolgozó nagyapja elvesztette az állását, Rámánudzsan anyjával együtt visszaköltözött Kumbakonamba, ahol tanulmányait a Kangajan elemi iskolában folytatta.Kanigel (1991), 14. o. Apai nagyapja halála után visszakerült az anyai nagyszülőkhöz, akik időközben Madrászba költöztek. Az ottani tanítást nem szerette, és amennyire tudta, kerülte az iskolát. A család a rendőrséghez fordult segítségért, hogy karhatalmi kísérettel biztosítsák a fiú mindennapi eljutását az iskolába. Rámánudzsan hat hónap elteltével mindenesetre visszatért Kumbakonamba.

Miután apja a nap nagy részében a családtól távol dolgozott, Rámánudzsan nevelése anyjára hárult, s bensőséges kapcsolat alakult ki közöttük. A fiú anyjától tanulta meg a vallási hagyományokat, a puránákat, a bráhmin kaszt táplálkozási szokásait, vallási énekeit és a púdzsa szertartását. A Kangajan elemi iskolában jól teljesített, 1897 novemberében tette le első vizsgáit, angol és tamil nyelvből, földrajzból és aritmetikából a kerület legjobb eredményeit elérve.Kanigel (1991), 25. o. Még abban az évben, tízesztendősen elkezdte középiskolai tanulmányait a Town Higher Középiskolában, ahol először találkozott magasabb szintű matematikával. A matematika tanulásához veleszületett tehetséggel rendelkezett. Tizenegy éves korára matematikai tudásával lekörözte a házukban szobát bérlő főiskolásokat, valamivel később pedig kikölcsönözte és elolvasta Sidney Luxton Loney trigonometriakönyvét. Tizenhárom éves korára felállította első saját matematikai elméleteit, tizennégy éves korától iskolája kitüntető oklevelekkel és tudományos díjakkal ismerte el tehetségét. Ugyancsak tizennégy éves korában segített az iskolai osztályok megszervezésében, szétosztva a különböző szinten álló és eltérő igényű 1200 tanulót a mintegy 35 tanár között.Kanigel (1991), 27. o. Matematikai kötelezettségeit az előírt tanulmányi idő fele alatt teljesítette. 1902-ben, tizenöt éves korában megismerkedvén a harmadfokú egyenletekkel, kidolgozta saját képletét a negyedfokú egyenletek megoldására. Egy évvel később hasonló kísérletet tett az ötödfokú egyenletekkel is, nem ismervén az annak lehetetlenségét 1824-ben kimondó Abel–Ruffini-tételt.

Tizenhét éves korában áttanulmányozta George S. Carr Az elméleti és alkalmazott matematika elemi eredményeinek áttekintése (A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics) című, közel 5000 tételt tartalmazó könyvét.Kanigel (1991), 39. o.Marcus du Sautoy: A prímszámok zenéje, Budapest, Park Kiadó, 2012 A könyv hatására kezdett el foglalkozni a Bernoulli-számokkal, valamint a divergens végtelen számsorokkal, és a harmonikus sort vizsgálva 15 tizedesjegyes pontossággal kiszámította az Euler–Mascheroni-állandót.Luke Hodgkin: A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity , Oxford University Press, 2005, , 229. o.Kanigel (1991), 90. o.

Középiskolai tanulmányait 1904-ben fejezte be. Az iskolaigazgató, Krisnaszvámi Ijer a K. Ranganatha Rao matematikai díjjal tüntette ki. Ezt követően Kumbakonamban tanult ösztöndíjjal az ottani művészeti főiskolán,Kanigel (1991), 28. o. a matematika azonban annyira lekötötte figyelmét, hogy a legtöbb tantárgyból megbukott és az ösztöndíjat megvonták tőle. 1905 augusztusában elszökött otthonról, és egy hónapot Rádzsamundriban tartózkodott.Kanigel (1991), 48–49. o. Hamarosan Madrászban, a Pachaiyappa’s College-ban folytatta felsőfokú tanulmányait. Matematikadolgozatait azonban részben megoldatlanul adta be, s csak azokkal a feladatokkal foglalkozott, amelyek felkeltették érdeklődését. Az egyéb tantárgyakban (angol, szanszkrit, élettan stb.) gyenge eredményeket ért el, és előbb 1906-ban, majd második nekifutásra 1907-ben is megbukott az államvizsgán. Diploma nélkül hagyta el az iskolát, s matematikai kutatásainak szentelte életét. Ez volt életének a legnehezebb időszaka, amelyet szélsőségesen szerény körülmények között, az éhhalál fenyegető árnyékában töltött.Kanigel (1991), 55–56. o.

Indiában töltött ifjúkori évek Miután a helyi szokásoknak megfelelően anyja elrendezte a házasságot, 1909. július 14-én, közel huszonkét évesen feleségül vette a Karúrból származó, tízéves Srímati Dzsanaki (Dzsanakiammal) nevű lányt.Kanigel (1991), 71. o. Dzsanaki még három évig, a pubertáskor eléréséig a szülői házban maradt, s csak 1912-ben költözött egy fedél alá az akkor Mádraszba költöző férjével és anyósával.

A házasságkötést követően Rámánudzsannál herevízsérv (hydrokele testis) alakult ki.Kanigel (1991), 72. o. A rendellenesség ugyan orvosolható lett volna egy rutinműtéttel, de családjának erre nem volt pénze. Végül 1910 januárjában az operációt egy jó szándékú orvos ingyen vállalta.Srinivasan (1968), Vol. 1, 100. o. A sikeres műtét után Rámánudzsan állást keresett magának; egy barátjához költözött Mádraszba, és házról házra járva keresett könyvelői állást. Pénzkeresés végett a Presidency College diákjait korrepetálta.Kanigel (1991), 73. o. 1910 végén újból megbetegedett, és egészségét kímélendő barátját, R. Rádhákrisna Ijert bízta meg azzal, hogy matematikai jegyzeteit juttassa el a Pachaiyappa’s College-ba Szingaravelu Mudaliar professzornak vagy a Madrászi Keresztény Főiskolára Edward Burns Ross professzornak.Kanigel (1991), 74–75. o. Felépülése után visszaszerezte jegyzeteit, és a francia fennhatóság alatt álló Villupuramba utazott.Ranganathan (1967), 23. o.Srinivasan (1968), Vol. 1, 99. o. 1912-ben Mádrasz Georgetown nevű városrészébe költözött anyjával és az ekkor maga mellé vett feleségével, Dzsanakival együtt. Miután 1913 májusában kétéves kutatói ösztöndíjat nyert el a Mádraszi Egyetemen, családjával együtt a központibb elhelyezkedésű Triplicane városnegyedbe költözött.

Hogy költségeit fedezze, a madrászi kikötőnek dolgozott, mint hivatalnok. Több indiai matematikusnak küldte el tételeit, akik egymáshoz küldözgették, mert bevallották, hogy nem értenek eléggé a témához. Amikor az ismert indiai tudósok sora kimerült, Rámánudzsan angliai matematikusoknak küldte el tételeit azzal a kéréssel, hogy segítsenek a publikálásukban.

1912–1913 során több prominens angliai matematikusnak küldött bemutatkozó levelet, amiben tanácsot, segítséget kért a tételek megjelentetéséhez és munkái egy részét ismertette. A címzettek többsége a Cambridge-i Egyetemen volt matematika-professzor. Köztük volt Henry Frederick Baker, elismert matematikus, a Royal Society tagja, két évvel korábban a Londoni Matematikai Társaság elnöke. Baker udvariasan nemet mondott. Ernest William Hobson, ugyancsak ismert matematikus, a Royal Society kutató ösztöndíjasa volt. Hobson is nemet mondott. 1913. január 16-án Rámánudzsan egy újabb cambridge-i matematikusnak írt, Godfrey Harold Hardynak, aki kollégáinál jó néhány évvel fiatalabb volt, mindössze 35 éves. Hardy addig három könyvet és körülbelül száz matematikai cikket írt, a Trinity College kutató ösztöndíjasa volt, a Royal Society tagja. Hardy rendszeresen kapott leveleket önjelölt zseniktől vagy holdkórosoktól, és átnézve a levél több tucat állítását, nem tudta eldönteni, hogy beugratásról van-e szó, ezért megmutatta a levelet kollégájának, John Edensor Littlewoodnak, aki kiváló matematikus volt. A mintegy tízoldalas levél (a bemutatkozó szöveg csak alig egy oldalt foglalt el) Rámánudzsan szépen formált betűivel íródott, így jól olvasható volt. A tételek között volt olyan, amihez hasonló bizonyítást maga Hardy publikált tizennégy évvel korábban az Education Times-ban, volt olyan, ami már száz éve ismert volt Laplace és Carl Gustav Jacobi munkáiból, de voltak olyanok is, amik ismeretlenek voltak, és ez a tény mindkét angol matematikust megdöbbentette. Hardy segítséget ajánlott fel az ismeretlen indiai fiatalembernek, aki akkor 23 éves volt.

A bemutatkozó levél néhány tétele Hardy bizonyosakat már ismert Rámánudzsan tételei közül, néhány azonban nehezen hihetőnek tűnt. Leginkább a harmadik oldal elején található tétel valódiságában kételkedett, ami a következő volt:

Hardyt lenyűgözték Rámánudzsan végtelen sorokkal kapcsolatos eredményei is:

Az első eredményt már felfedezte egy Bauer nevű német matematikus, a második ismeretlen volt Hardy előtt.

Rámánudzsan egy további állítása a következő volt:

sorfejtésében együtthatója az

-hez legközelebb eső egész. Ez jó közelítés a keresett számhoz, de nem olyan jó, mint Rámánudzsan gondolta. Mégis, e merész tippelés termékenynek bizonyult, mert végső soron elvezetett Hardy és Rámánudzsan partíciókkal kapcsolatos eredményeihez.

A karrier kezdete