Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axiómaHajnal-Hamburger , 121. o.) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája: Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.Jech , 6. o.
Változatok Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki: Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság. A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában). Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
( rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni. Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát. Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
(Itt és két különböző tartalmazási reláció.)Kisielewicz , 83. o. Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.
Jegyzetek
Irodalom Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983. Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003. Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).
Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák