jobbra|bélyegkép|250px|Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát. A halmazok halmazát Ernst Zermelo és Gerhard Hessenberg is vizsgálta. A hatványhalmaz elnevezés későbbi.
Definíció Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen:
ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
A hatványhalmaz halmazrendszer, azaz egy olyan halmaz, melynek elemei halmazok. A rendszer elemei közé tartoznak a nem valódi részhalmazok, így az üres halmaz és is. További jelölései: és .
Példa Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők: nullaelemű részhalmaza az üres halmaz egyelemű részhalmazai az , a és a kételemű részhalmazai: , és egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: Tehát
További példák:
Egy halmazrendszer, például egy topológia vagy σ-algebra az alapjukul szolgáló tér, mint ponthalmaz hatványhalmazának részhalmaza, azaz eleme.
Tételek a hatványhalmazról Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.
Jelben: .
Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
Állítás – Ha H halmaz, akkor a és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot a relációval ellátva Boole-hálót alkot.
Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).
Struktúrája A tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az , a legnagyobb a teljes halmaz.
A részben rendezés teljes háló. Ez azt jelenti, hogy minden részhalmazának van közös legnagyobb alsó korlátja és legkisebb felső korlátja. Konkrétan ez a metszet, illetve az unió. Jelben, ha , akkor:
A legnagyobb, illetve legkisebb elemek legnagyobb alsó korlátja, illetve legkisebb felső korlátja:
Ha hozzávesszük a komplementerképzést, mint , akkor Boole-háló, azaz distributív és komplementeres háló.
Minden Boole-háló indukál egy egyértelmű kommutatív gyűrűszerkezetet, ez az úgynevezett Boole-gyűrű. Műveletei az halmazon a szimmetrikus differencia, mint összeadás, és a metszet, mint szorzás. Az összeadás semleges eleme az üres halmaz, és a szorzás semleges eleme a teljes halmaz. Karakterisztikus függvény Ha az alaphalmaz , akkor minden részhalmazhoz hozzárendelhető egy karakterisztikus függvény, amelyre:
Ez bijekció és között. Ez motiválja a és a jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében (általában: )
Az megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető. Számossága A következőkben jelöli egy halmaz számosságát. Ha véges, akkor . Minden halmazra teljesül Cantor tétele: .
Végtelen halmaz esetén is jelölik -nel a hatványhalmaz számosságát. Az általánosított kontinuumhipotézis szerint, ha az halmaz végtelen, akkor az számosság után az a közvetlenül következő számosság:
Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük. Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:
ahol jelöli az formulát.
Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:
Bourbaki-halmazelmélet
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:
ahol jelöli az formulát.
Hasonló konstrukciók Ha egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert jelöli, mely az halmaz -nál kevesebb elemet tartalmazó részhalmazaiból áll. Például . A teljes halmaz hiányzik, hiszen nem tartalmaz kevesebb, mint három elemet.
A hatványképzés kiterjeszthető osztályokra is. Itt arra kell vigyázni, hogy valódi osztályok nem állhatnak az reláció bal oldalán. Egy K osztály hatványa az az osztály, melynek elemei azok a halmazok, amelyek elemei mind K-beliek. Tehát a hatványhalmaz az osztály részhalmazaiból áll. Valódi osztály hatványhalmaza valódi osztály, mivel egyenként elemei a K elemeiből alkotott egyelemű halmazok, de nem eleme a teljes K osztály. Viszont az üres halmaz eleme.
Történeti adalékok Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
További információk Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai
Források Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, .
Bourbaki halmazelméletéről Kristóf János, A matematikai analízis alapjai I. ELTE jegyzet, 1998-2025. (A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt. ) Kristóf János, A matematikai analízis elemei 1-7, ELTE jegyzet, 1996-2025. (A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt. ) Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo) Cikk a Bourbaki-csoportról
Fordítás
Kategória:Halmazelmélet